Brennweite

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Die Brennweite f einer Linsen- oder Spiegeloptik ist der Abstand zwischen Brennpunkt F (Fokus) und zugeordneter Hauptebene H. Bei einer dünnen Linse liegt H am Ort der Linse.

Bei Sammellinsen und Hohlspiegeln ist die Brennweite als positiver Wert, bei Zerstreuungslinsen und Konvexspiegeln als negativer Wert definiert. Betragsmäßig große Brennweiten entstehen durch flache, schwach gekrümmte Oberflächen und umgekehrt. Die Stärke einer Linse, fachsprachlich Brechkraft genannt, ist der Kehrwert ihrer Brennweite (mit Vorzeichen) und wird in Dioptrien angegeben.

Die Brennweite ist ein Konzept der paraxialen Optik, einem Teilgebiet der geometrischen Optik. In der Praxis ergeben sich Abbildungsfehler.

In der Fotografie bestimmt die Brennweite zusammen mit dem Aufnahmeformat den Bildwinkel (siehe auch Formatfaktor), mit der Apertur die Lichtstärke und mit der Gegenstandsweite den Abbildungsmaßstab. Letzteres gilt auch für das Zwischenbild beim Mikroskop. Bei Fernrohren und Ferngläsern bestimmen die Brennweiten von Objektiv und Okular zusammen die Vergrößerung und mit der Apertur die Größe der Austrittspupille.

Brechkraft

Die Formeln der paraxialen Optik werden übersichtlicher, wenn der Kehrwert der Brennweite, die Brechkraft

$D = \frac{1}{f}$

verwendet wird. Zahlenwerte der Brechkraft (Brechwert), z. B. für Brillengläser, werden in der Einheit Dioptrie angegeben, 1 dpt = 1/m.

Zum Beispiel entspricht einer Brechkraft von 2 dpt eine Brennweite von 0,5 m. Ein afokales Linsensystem hat keine Brechkraft, also eine unendliche Brennweite.

Nach einer alternativen Definition ist die Brechkraft die Änderung der Krümmung einer Wellenfront, ihrer Vergenz, beim Durchgang durch das optische Element. Als unmittelbare Anwendung ergibt sich die Brechkraft eines Hohlspiegels mit Radius R: Für eine aus dem Krümmungsmittelpunkt auslaufende Welle ist die Vergenz beim Auftreffen auf den Spiegel −1/R (negativ, weil divergent), nach der Reflexion dagegen +1/R (konvergent). Die Änderung ist D = +2/R, die Brennweite also R/2.

Für Linsen ist die Brechkraft weniger offensichtlich und hängt vom Brechungsindex sowohl der Linse als auch der angrenzenden Medien ab. Sie ist deshalb auch wellenlängenabhängig. Für Formeln, auch für Linsenkombinationen, siehe Linse.

Herleitung der Abbildungsgleichung über die Brechkraft

Bezeichnungen an der Linse (ohne Hauptebenen)

Ein von einem Gegenstand im Abstand g ausgehendes Strahlenbündel hat am Ort der eingangsseitigen Hauptebene eine Vergenz von −1/g, zu der das Bauelement 1/f hinzufügt, sich am Ort der ausgangsseitigen Hauptebene die Vergenz

$\frac{1}{b} = -\frac{1}{g} + \frac{1}{f}$

ergibt. Falls positiv, wenn also wie im nebenstehenden Bild die Gegenstandsweite g größer ist als die Brennweite, so konvergiert das Bündel zu einem Bildpunkt im Abstand b.

Obige Gleichung, leicht umgestellt, ist die Linsengleichung.

Messung der Brennweite

Den Bennpunkt einer Sammellinse findet man, indem man sie im Sonnenlicht als Brennglas benutzt und gut fokussiert. Der Abstand zum Fokus ist gleichzeitig die Bildweite und die Brennweite. Die Brechkraft in Dioptrien ist der Kehrwert der Brennweite in Metern.

Leichter in der Schärfe zu beurteilen als der Brennfleck der Sonne ist das Abbild kontrastreicher Motive wie Bäume oder Gebäude auf einer weißen Fläche. Die Brechkraft 1/f ist dann nach der Abbildungsgleichung die Summe der Kehrwerte der Bildweite und der Gegenstandsweite. Für die Gegenstandsweite reicht eine grobe Schätzung, falls sie groß gegenüber der Bildweite ist.

Für genauere Messungen wird es kritisch, wovon der Abstand gemessen wird. Es ist bei realen, dünnen Linsen der Abstand von der Hauptebene zum Bildpunkt. Bei solchen dünnen Linsen kann man mit ausreichender Genauigkeit die Hauptebene mit der Mittelebene der Linsen identifizieren. Bei dicken Linsen ist dieser einfache Ansatz nicht mehr genau genug. Bei einem mehrlinsigen Objektiv ist der Fehler 1/g in der Brechkraft vernachlässigbar gegenüber der Unsicherheit über die Lage der Hauptebene. Dann kann das Abschätzen der Bildgröße genauere Ergebnisse liefern. Das entspricht bei einem Teleskop der Messung der Driftgeschwindigkeit des Bildes aufgrund der Erdrotation.

Das Autokollimations- und das Bessel-Verfahren sind weitere Verfahren um die Brennweite dünner Linsen zu bestimmen.

Brillenoptiker bestimmen die Brennweite nicht-sphärischer Gläser und die über die Fläche variierende Brechkraft von Gleitsichtgläsern durch Wellenfrontanalyse, meist mit einem Hartmann-Shack-Sensor. Die automatisierten Geräte heißen aus historischen Gründen Scheitelbrechwertmesser.

Bei dicken Linsen und mehrlinsigen Objektiven kann die Brennweite nicht auf einfache Weise bestimmt werden, weil die Lage der Hauptebenen nicht bekannt ist. Ein mögliches Messverfahren dafür ist das Abbe-Verfahren mit dem die Lage der Hauptebene und die Brennweiten gleichzeitig bestimmt werden können.

Berechnung der Brennweite

System aus zwei dünnen Linsen

Zur Herleitung der Brennweite eines Linsensystems aus zwei dünnen Linsen. Die Brennweiten der Linsen werden immer von der Mittelebene der Linse gezählt. Dagegen werden die Brennweiten F und F' des Systems von den Hauptebenen gezählt.

Die Brennweite F eines Systems aus zwei dünnen Linsen der Brennweite f₁ bzw. f₂ im Abstand d beträgt

$\frac{1}{f}=\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}-\frac{d}{f_1f_2} \,.$

Die gegenstandsseitige Brennweite F und die bildseitige Brennweite F' des Linsensystems beziehen sich auf die jeweilige Hauptebenen des Linsensystems H,H'. Zur Konstruktion dieser siehe im Artikel Hauptebene.

Herleitung der obigen Formel:

Anwendung des Strahlensatzes auf die vom Punkt P ausgehenden Strahlen (rot) ergibt:

$\frac{\overline{F'_1F_2}}{d}=\frac{|f_1|}{z}\Leftrightarrow\frac{d-|f_1|-|f_2|}{d}=\frac{|f_1|}{z}\,,$

also $z=\frac{|f_1| d}{d-|f_1|-|f_2|}\,$.

Ausgehend von den blauen Strahlen aus P₁ ergibt sich:

$\frac{z-|f|}{z}=\frac{d-|f_2|}{d}\,,$

also $f=|f_2|\frac{z}{d}\,,$ zusammen $f=\frac{|f_1||f_2|}{d-|f_1|-|f_2|}\,$. Umgestellt ergibt sich:

$\frac{1}{|f|}=-\frac{1}{|f_1|}-\frac{1}{|f_2|}+\frac{d}{|f_1| |f_2|}\,$.

Wie man der Abbildung entnehmen kann, ist der gegenstandsseitige Brennpunkt F rechts von seiner Hauptebene, was einer negativen Brennweite entspricht (wie im Falle einer Zerstreuungslinse). Um die Betragsstriche weglassen zu können und der Konvention von positiven Brennweiten zu entsprechen, muss im Falle gegenstandsseitiger Brennweiten $f\to-f$ gesetzt werden.

$\frac{1}{f}=\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}-\frac{d}{f_1 f_2}$.

Die bildseitige Brennweite f' ergibt sich aus einer ähnlichen Überlegung, nur dass f₁ und f₂ vertauscht werden müssen. Da obige Formel sich unter der Vertauschung nicht ändert, gilt die Formel auch für f'. Es ist also f = f'.

Gilt $d\ll f_1,f_2$ (nahe benachbarte Linsen), so kann man d vernachlässigen und erhält das reziproke Additionsgesetz:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2} \,.$

Alle Brennweiten sind in den letzten beiden Formeln als positive Werte einzusetzen.

Dicke Linse

Verschiedene Linsentypen, jeweils mit Vorzeichen der Krümmungsradien und Lage der Hauptebenen.

Eine dicke Linse kann man sich aus zwei dünnen Linsen zusammengesetzt denken. Anstatt Luft (n = 1) befindet sich zwischen beiden Linsenmaterial (n_Linse). Man kann wie bei Systemen aus zwei Linsen vorgehen, nur muss man die Längen innerhalb der dicken Linse um den Brechungsindex n_Linse verkürzen:

$\frac{1}{f}=\frac{n_\mathrm{Linse}}{f_1}+\frac{n_\mathrm{Linse}}{f_2}-\frac{n_\mathrm{Linse}d}{f_1f_2}$.

Die Brennweiten f₂ und f₁ ergeben sich aus den Krümmungen r₁,r₂ und dem Brechungsindex (siehe dünne Linse):

$f_1=r_1\frac{n_\mathrm{Linse}}{n_\mathrm{Linse}-1}$

$f_2=-r_2\frac{n_\mathrm{Linse}}{n_\mathrm{Linse}-1}$.

Hier wird die Brennweite einer bikonvexen Linse (Nr. 1 in nebenstehender Abbildung) berechnet und die Krümmungsradien sind beide als positive Zahlen einzusetzen. Aber um zu berücksichtigen, dass die Krümmung der 2. Grenzfläche der 1. entgegengesetzt ist, wird das Minuszeichen bei der Formel für f₂ eingeführt. Es folgt die Linsenschleiferformel:

$\frac{1}{f}=\frac{n_\mathrm{Linse}-1}{r_1}-\frac{n_\mathrm{Linse}-1}{r_2}+\frac{d(n_\mathrm{Linse}-1)^2}{n_\mathrm{Linse}r_1r_2}=(n_\mathrm{Linse}-1)\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}+\frac{d(n_\mathrm{Linse}-1)}{n_\mathrm{Linse}r_1r_2}\right)$.

Literatur

• Max Born: Optik, 1972, ISBN 3-540-05954-7 (2. Kapitel).
• Fritz Hodam: Technische Optik. 1967.