Brennweite

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f = Brennweite

Die Brennweite $f$ ist in der Optik der Abstand eines Brennpunkts $F$ , auch Fokus genannt, von dem ihm zugeordneten Hauptpunkt $H$ auf der Linse oder dem Hohlspiegel bei parallel einfallendem Licht.

Wenn man Sonnenlicht mit einer Sammellinse bündelt, ändert sich die Größe des Bildes der Sonne mit dem Abstand der Linse zu dem Objekt, auf dem das Bild sichtbar ist. Wenn die Größe des Brennpunkts (Fokus) auf dem Objekt am kleinsten ist, entspricht der Abstand der Linse zum Objekt genau der Brennweite der Linse. Ein brennbarer Gegenstand, zum Beispiel Papier, kann dann so stark erhitzt werden, dass er entflammt. Daher die Namensgebung Brennweite.

Objekte, die „unendlich“ weit entfernt sind, werden scharf abgebildet, wenn die Entfernung der einzelnen Linse zur Bildebene der Brennweite entspricht. Für näher liegende Objekte muss der Abstand der Linse zur Bildebene vergrößert werden.

In der Fotografie bestimmt die Brennweite eines Objektivs zusammen mit dem Aufnahmeformat den Bildwinkel und damit den Bildausschnitt einer Aufnahme. Ein Objektiv, dessen Brennweite etwa der Diagonalen des Aufnahmeformats entspricht, wird als Normalobjektiv für das jeweilige Format bezeichnet.

Die Brennweite einer Linse berechnet sich nach der Linsengleichung.

$f = \overline{HF}$

Den Kehrwert bezeichnet man als Brechwert oder Brechkraft.

Bei Sammellinsen ist die Brennweite positiv, bei Zerstreuungslinsen negativ.

Inhaltsverzeichnis

1 Brechwert
2 Abhängigkeit von der Form
3 Abhängigkeit von der Farbe (Wellenlänge)
4 Brennweitenbestimmung
5 Brennweitenangaben bei DSLR und Kompaktkameras
6 Bildwirkung unterschiedlicher Brennweiten
7 Siehe auch
8 Weblinks

[Bearbeiten] Brechwert

Der Kehrwert der Brennweite (bezogen auf Luft) heißt Brechwert oder Brechkraft D und entspricht der Vergenz, die die Linse auf einen kollimierten Strahl aufprägt:

$D = \frac{1}{f}$

Brechwerte werden in der Einheit 1/Meter (reziprokes Meter) angegeben; das reziproke Meter bezeichnet man – nur im Zusammenhang mit Brechwerten – auch als Dioptrie (Einheitenzeichen: dpt).

Beispiel: Eine freistehende Linse der Brennweite 10 cm = 0,10 m hat den Brechwert von 1/(0,10 m) = 10 dpt. Ein optisches System, das Licht in einem Punkt, dem Brennpunkt, vereinigt, hat eine Brennweite. Bei einer dünnen Linse ist die Brennweite in etwa die Entfernung des Brennpunktes von der Linse. Genauer bezeichnet die Brennweite die Entfernung der Hauptebene der Linse vom Brennpunkt.

Werden Linsen dicht aufeinander folgend kombiniert, addieren sich die Brechwerte der Einzellinsen:

$\frac{1}{f_\mathrm{S}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$

wobei f bei einer Sammellinse einen positiven Wert trägt, bei einer Streulinse einen negativen. f_S gibt die Brennweite des gesamten Linsenystems an.

Für Doppellinsen mit einem größeren Abstand $d$ dazwischen muss die Formel um einen Term ergänzt werden:

$\frac{1}{f_\mathrm{S}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} + \left(-\frac{d}{f_1 \cdot f_2}\right)$

Bei manchen optischen Systemen kann die Brennweite nicht direkt aus dem Abstand zwischen Objektiv und Bildebene ermittelt werden. Dabei handelt es sich um Systeme, bei denen der Strahlengang nach Passieren des Objektivs noch einmal aufgefächert wird, z. B. bei Zoom-Objektiven, bei Einsatz einer Barlow-Linse oder bei Spiegelobjektiven in der Bauart Schmidt-Cassegrain oder Maksutov.

[Bearbeiten] Abhängigkeit von der Form

Zerstreuungslinse

Den Zusammenhang zwischen Linsenform und Brennweite gibt die sogenannte Linsenschleiferformel an. An dieser Stelle sei nur angemerkt, dass:

mit einer Sammellinse (auch Konvexlinse) das Sonnenlicht so konzentriert werden kann, dass z. B. Papier aufgrund der hohen Intensität des gebündelten Lichtes zu brennen beginnt. Daher rühren eigentlich die Begriffe Brennweite und Brennpunkt, wie sie etwa auch für die Kegelschnitte Ellipse, Parabel, und Hyperbel definiert sind; siehe hierzu Exzentrizität (Mathematik).
eine Zerstreuungslinse (auch Konkavlinse) eine virtuelle (negative) Brennweite hat.

Bei einer sphärischen Linse variiert die Brennweite im Zentralbereich zu der eines Randbereiches (Sphärische Aberration). Um den Brennweitenunterschied auszugleichen und das Bild deutlich zu stellen, gibt es mehrere Möglichkeiten. Dazu zählen: Abblenden (nur der mittlere Teil der Linse wird genutzt), Verwendung von Linsenkombinationen, die den Fehler ausgleichen, Verwendung asphärischer Linsen oder Spiegel (z.B. Parabolspiegel).

[Bearbeiten] Abhängigkeit von der Farbe (Wellenlänge)

Chromatische Aberration

Da die Stärke der Brechung von der Brechzahl $n$ abhängt, diese wiederum von der Ausbreitungsgeschwindigkeit $c Medium$ der Welle im entsprechenden Medium und $c Medium$ von der Wellenlänge ( $\hat=$ Farbe des Lichtes) abhängt, ergibt sich für unterschiedliche Farben ein unterschiedlicher Brechwert. Kurz ausgedrückt:

$n = \frac{c_0}{c_{\rm Medium}} \;$ und $\; \lambda=\frac{c_{\rm Medium}}{f_w}\;$ $\; \Rightarrow \; n = \frac{c_0}{\lambda \ f_w}\;$ wobei $c 0$ für die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und $f w$ für die Frequenz der Welle steht.

Die unterschiedliche Änderung der Wellenlänge elektromagnetischer Wellen im Medium bei gleich bleibender Frequenz bewirkt schlussendlich die Brechungsunterschiede zwischen den verschiedenen Farben, weshalb Abbildungsfehler, wie Farbsäume oder unscharfe Stellen auf Schwarz-Weiß-Bildern, entstehen können.

Zum Ausgleichen kann man achromatische oder apochromatische Linsenkombinationen aus Gläsern mit unterschiedlicher Abbe-Zahl verwenden.

[Bearbeiten] Brennweitenbestimmung

Die Brennweite einer Linse kann aus der Linsengleichung berechnet werden, wenn Gegenstands- und Bildweite bekannt sind. Weitere Messverfahren sind das Bessel-Verfahren, das Abbe-Verfahren und das Autokollimationsverfahren.

[Bearbeiten] Brennweitenangaben bei DSLR und Kompaktkameras

Tatsächliche Brennweite einer digitalen Bridgekamera auf der Frontlinsenfassung eingraviert, zusätzlich kleinbildäquivalente Brennweitenangabe auf der Fassung

Bei Objektiven von Kompaktkameras oder digitalen Spiegelreflexkameras (DSLR) mit kleinem Aufnahmeformat wird gelegentlich zusätzlich auch die kleinbildäquivalente Brennweite angegeben. Sie entspricht der Brennweite einer 24 mm × 36 mm-Kleinbildkamera, die denselben Bildwinkel erfasst (siehe Hauptartikel Formatfaktor).

[Bearbeiten] Bildwirkung unterschiedlicher Brennweiten

Ausschnitt, Aufnahmen mit einer Kamera mit dem Formatfaktor 1,6
17 mm Brennweite (Weitwinkel)	24 mm Brennweite (leichter Weitwinkel)	35 mm Brennweite (Normalobjektiv)	50 mm Brennweite (leichtes Teleobjektiv)
70 mm Brennweite (Teleobjektiv)	100 mm Brennweite (Teleobjektiv)	135 mm Brennweite (Teleobjektiv)	200 mm Brennweite (Teleobjektiv)
300 mm Brennweite (Teleobjektiv)	500 mm Brennweite (Teleobjektiv)	1000 mm Brennweite (Teleobjektiv)	2000 mm Brennweite (Teleobjektiv)

Bei Aufnahmen mit unterschiedlichen Brennweiten vom selben Standort ergibt sich keine Änderung der Perspektive, sondern nur eine Veränderung des Abbildungsmaßstabs. Eine Ausschnittsvergrößerung eines der nebenstehenden Weitwinkelfotos würde exakt dieselbe Perspektive zeigen wie das entsprechende, mit längerer Brennweite aufgenommene Bild. Allerdings ändert sich der Bereich der Schärfentiefe.

Perspektive
17 mm Brennweite (Weitwinkel). Abstand vordere Objektkante – Bildebene (Sensorfläche): 0,17 m	36 mm Brennweite (Normalobjektiv). Abstand vordere Objektkante – Bildebene (Sensorfläche): 0,36 m	170 mm Brennweite (Teleobjektiv). Abstand vordere Objektkante – Bildebene (Sensorfläche): 1,7 m

Bei der Aufnahme eines Objektes mit unterschiedlichen Brennweiten und unterschiedlichem Abstand zum Objekt, aber demselben Abbildungsmaßstab, ändert sich die perspektivische Darstellung. Deutlich erkennbar ist, dass bei der Aufnahme mit dem Weitwinkelobjektiv der Vordergrund des Objektes stark betont wird. Bei der Aufnahme mit dem Teleobjektiv wird dagegen der Hintergrund stärker betont. Dieser Effekt ist jedoch nicht unmittelbar durch die unterschiedlichen Brennweiten bedingt. Er entsteht durch die Beibehaltung des selben Abbildungsmaßstabes, bei unterschiedlichen Brennweiten. Dies wiederum macht verschiedene Abstände vom Objekt erforderlich, die letztlich die Perspektive verändern.