Bruchrechnung

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Ein Kuchen ist in vier gleiche Teile geteilt. Jeder Teil des Kuchens entspricht ¹⁄₄. Wie man sieht, entsprechen zwei Teile (2 · ¹⁄₄ = ²⁄₄) einem halben (=¹⁄₂) Kuchen.

Die Bruchrechnung befasst sich mit der Division von ganzen Zahlen. Ein Bruch (manchmal auch gewöhnlicher Bruch, englisch vulgar fraction, oder verallgemeinert auf die ganzen Zahlen eine Bruchzahl) ist dabei die Darstellung einer rationalen Zahl als Quotient (d. h. als Ergebnis einer Division), er drückt also ein Verhältnis oder einen Anteil aus.

Definition und Bezeichnungen

Beschreibung eines gemeinen Bruches

Brüche werden im Allgemeinen durch eine Übereinanderstellung von Zähler und Nenner, getrennt durch einen waagerechten Strich, dargestellt:

$\frac{Z}{N}$

der Zähler $Z$ ist dabei der Dividend der Division, der Nenner $N$ ist der Divisor. Jede Division lässt sich als Bruch schreiben. (Strenggenommen gilt dies nur, falls die Multiplikation kommutativ ist, denn in der Bruchschreibweise kann man nicht zwischen $Z \cdot \tfrac 1 N$ und $\tfrac 1 N \cdot Z$ unterscheiden.)

Zähler und Nenner einer konkreten Bruchzahl sind ganze Zahlen, für Brüche im Allgemeinen können sie aber auch algebraische Ausdrücke sein. Dabei darf der Nenner niemals Null sein, da eine Division durch Null nicht definiert ist (und sich nicht sinnvoll definieren lässt).

Ist der Zähler in einem Bruch 1 (z. B. ¹⁄₂ ¹⁄₉), spricht man von einem Stammbruch, alle anderen sind abgeleitete oder Zweigbrüche.

Wenn bei Brüchen der Betrag des Zählers kleiner als der des Nenners ist, so handelt es sich um echte (eigentliche) Brüche (z. B. ⁶⁄₇ oder ²⁄₅), andernfalls um unechte (uneigentliche) Brüche (z. B. ⁷⁄₇ oder ¹¹⁄₃).

Brüche wie ¹²/₃, bei denen der Zähler ein ganzzahliges Vielfaches des Nenners ist, bezeichnet man als Scheinbrüche, da sie sich durch Kürzen in ganze Zahlen umwandeln lassen (im Beispiel in die Zahl 4).

Im Alltag schreibt man auch gemischte Zahlen (gemischte Brüche), also den ganzzahligen Anteil, d. h. die zur Null hin gerundete Zahl, und anschließend den Divisionsrest (kurz Rest) als echten Bruch, zum Beispiel 1¹⁄₂ statt ³⁄₂. In manchen Ländern wie Frankreich sind gemischte Zahlen unüblich.

$\textstyle a\,\frac{b}{c} := a + \frac{b}{c} \quad\quad(\text{z. B. } 2\,\frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2})$

für $\quad a, b, c \in \N$ und $b < c$ . Es gilt

$\textstyle a\, \frac{b}{c} = \frac{a\cdot c + b}{c}\textstyle\quad\quad (\text{z. B. } 2\,\frac{1}{2} = \frac{2\cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}).$

.

Beispiele für Brüche

$\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$ Man liest: „drei Viertel plus ein Viertel“

$\frac{2}{3}$

der Bruch mit der 2 im Zähler und der 3 im Nenner bedeutet „zwei Drittel“, also zwei Teile eines in drei gleichgroße Teile geteilten Ganzen.

$\frac{3}{4}$

bedeutet entsprechend „drei Viertel“.

Es ist hierbei implizit verstanden, dass „ein Ganzes“ aus „drei (gleich großen) Dritteln“, „vier (gleich großen) Vierteln“ usw. besteht. Somit wird klar, dass man einen Bruch auch als eine rationale Zahl auffassen kann, die man bei der Division des Zählers durch den Nenner erhält.

$\frac{3}{4} \; = \; 3 : 4 \; = \; 0{,}75$

Brüche können gekürzt werden, wenn Zähler und Nenner mindestens einen gemeinsamen ganzzahligen Teiler haben. Dabei ist es hilfreich, wenn man den Zähler und den Nenner in ihre Primfaktoren zerlegt.

$\frac{6}{8} \; = \; \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2 \cdot 2} \; = \; \frac{3}{2 \cdot 2} \; = \; \frac{3}{4}$

Auch algebraische Ausdrücke, die Variablen enthalten, kann man als Bruch schreiben:

$\frac{2x}{5}$

bedeutet „zwei x geteilt durch Fünf“.

Rechenregeln

Addition

$\frac{a}{b} \; + \; \frac{c}{d} \; = \; \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}$

Addition von gleichnamigen Brüchen:

$\frac{a}{n} \; + \; \frac{b}{n} \; = \; \frac{a + b}{n}$

Subtraktion

$\frac{a}{b} \; - \; \frac{c}{d} \; = \; \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d}$

Subtraktion von gleichnamigen Brüchen:

$\frac{a}{n} \; - \; \frac{b}{n} \; = \; \frac{a - b}{n}$

Multiplikation

$\frac{a}{b} \; \cdot \; n \; = \; \frac{a \cdot n}{b}$

$\frac{a}{b} \; \cdot \; \frac{c}{d} \; = \; \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Division

Klassisches Beispiel

$\frac{a}{b} \; : \; \frac{c}{d} \; = \; \frac{a}{b} \; \cdot \; \frac{d}{c} \; = \; \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Man dividiert also durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert. Die Division wird also auf die Multiplikation zurückgeführt.

$\frac{a}{b} \; : \; n \; = \; \frac{a}{b \cdot n}$

Potenzen

Regel	Beispiel
$\frac{a^n}{b^m} = a^n \cdot b^{-m}$	$\frac{3}{2} = 3 \cdot 2^{-1}$
$\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$	$\frac{x^3}{x^2} = x^3 \cdot x^{-2} = x^{3-2} = x$
$\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$	$\frac{3^2}{2^2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2$

Kürzen und Erweitern

Kürzen	Erweitern
$\frac{a \cdot c}{b \cdot c} \; = \; \frac{a}{b}$	$\frac{a}{b} \; = \; \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$

Einige hilfreiche Eselsbrücken in diesem Zusammenhang sind:

Faktoren kürzen, das ist brav; wer Summen kürzt, der ist ein Schaf.
Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen.
Was du oben tust, machst du auch unten!

Die Äquivalenz $\frac a b = \frac{a\cdot c}{b\cdot c}$ bedeutet, dass ein Bruch für eine unendlich große Menge an Brüchen steht. Beispielsweise steht ein Bruch aus den Werten a und b für die Menge

$M = \left\{ \frac{a}{b} ,\dots, \frac{a\cdot 2}{b\cdot 2}, \dots , \frac{a\cdot 3}{b\cdot 3} ,\dots \right\}$ .

Weitere Darstellungsformen

Brüche kann man oft in so genannte Partialbrüche zerlegen, deren Nenner ganze Potenzen von Primzahlen sind; z. B.:

$\frac{5}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3},$

$\frac{1}{6} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3},$

$\frac{1}{72} = \frac{1}{8} - \frac{1}{9},$

$\frac{1}{60} = \frac{-1}{4} - \frac{4}{3} + \frac{8}{5}$ .

Es gibt auch Zerlegungen als so genannte ägyptische Brüche (Stammbrüche), z. B.

$\frac{3}{7} = \frac{1}{3} + \frac{1}{11} + \frac{1}{231}$ und

$\frac{25}{31} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{18} + \frac{1}{1116}$ ,

die alten Ägypter kannten nur solche Summen und haben mit diesen gerechnet.

Das Zahlentripel $(\tfrac{1}{5},\tfrac{24}{35}, \tfrac{5}{7})$ ist ein Beispiel eines pythagoreischen Bruchs (siehe auch pythagoreisches Tripel), denn

$\left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{24}{35}\right)^2 = \left(\frac{5}{7}\right)^2$ .

Siehe auch

Weblinks

Wiktionary: Bruch – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen und Grammatik
Wiktionary: Nenner – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen und Grammatik
Bruchrechnen erklärt für Schüler

Bruchrechnung

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Inhaltsverzeichnis

Definition und Bezeichnungen

Beispiele für Brüche

Rechenregeln

Addition

Subtraktion

Multiplikation

Division

Potenzen

Kürzen und Erweitern

Weitere Darstellungsformen

Siehe auch

Weblinks

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