Buch der Lemmata

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Propositio I im Liber Assumptorum (1661)
Die erste Seite des Book of Lemmas in The Works of Archimedes (1897).

Das Buch der Lemmata (auch Buch der Hilfssätze) ist eine Sammlung von 15 Aussagen über die Geometrie von Kreisen. Sie wird dem antiken griechischen Mathematiker Archimedes zugeschrieben; seine Urheberschaft ist allerdings fraglich.

Geschichte[Bearbeiten]

Der syrische Mathematiker Thabit ibn Qurra hat das Manuskript im 9. Jahrhundert aus dem Griechischen ins Arabische (Titel: K. al-Ma'hūdāt fī usūl al-handasa) übersetzt und es Archimedes zugeschrieben; aus dem 10. Jahrhundert ist ein Kommentar von Alī ibn Ahmad al-Nasawī überliefert.[1] Im Jahre 1661 wurde der Text von Abraham Ecchellensis ins Lateinische übertragen und von Giovanni A. Borelli als Archimedis Liber Assumptorum in seinem Werk Apollonii Pergaei Conicorum lib. V, VI, VII herausgegeben.[2] Der englische Mathematikhistoriker Thomas L. Heath wiederum erstellte eine englische Fassung des Liber Assumptorum und nahm diese 1897 unter dem Titel Book of Lemmas in seinen Sammelband The Works of Archimedes auf.[3] Dieser Band wurde – ergänzt u. a. um einen Beitrag des dänischen Mathematikhistorikers Johan Ludvig Heiberg über die Methoden Archimedes' – 1914 von Fritz Kliem ins Deutsche übersetzt (Archimedes' Werke);[4] das Kapitel Book of Lemmas heißt hier Buch der Hilfssätze.[5]

Die 15 Aussagen werden im Liber Assumptorum und im Book of Lemmas „Propositionen“, in der deutschen Übersetzung Kliems „Sätze“ genannt. Auf Griechisch ist das Werk nicht überliefert.[1]

Autorschaft[Bearbeiten]

Die Autorschaft Archimedes’ ist nicht gesichert. Zweifel erregen insbesondere Passagen des Textes, in denen auf Archimedes in der dritten Person Bezug genommen wird. In Satz 4 ist beispielsweise die Rede von einer Figur (gemeint ist der Arbelos), die „ein von Archimedes sogenannter Άρβυλος“[6] genannt wird („quam vocat Archimedes ARBELON“[7] bzw. „what Archimedes called an Άρβυλος“[8]).


Zur Frage der Autorschaft Archimedes’ führt Heath aus (rechts daneben die Übersetzung Kliems):

„The Lemmas cannot, however, have been written by Archimedes in their present form, because his name is quoted in them more than once. The probability is that they were propositions collected by some Greek writer of a later date for the purpose of elucidating some ancient work, though it is quite likely that some of the propositions were of Archimedean origin, e.g. those concerning the geometrical figures called respectively Άρβυλος (literally 'shoemaker's knife') and σαλινον (probably a 'salt-cellar'), and Prop. 8 which bears on the problem of trisecting an angle.“[9]

„Die Hilfsätze können jedoch in der heutigen Form von Archimedes nicht geschrieben sein, da sein Name darin mehrmals genannt wird. Wahrscheinlich waren es Sätze, die von einem späteren griechischen Schriftsteller gesammelt worden sind, um ein altes Werk zu erläutern, doch ist es ganz wahrscheinlich, daß einige von den Sätzen Archimedischen Ursprungs sind, z. B. diejenigen, die sich auf die geometrischen Figuren mit den Namen Άρβυλος (wörtlich „Schuster-Messer“) und σαλινον (vielleicht „Salzfaß“) beziehen, und Satz 8, der sich mit dem Problem der Dreiteilung des Winkels beschäftigt.“[10]


Zusammengefasst bedeutet dies, dass zumindest der Arbelos (das oben erwähnte „Schuster-Messer“), das Salinon (das „Salzfaß“) und die in Proposition 8 dargelegte Methode der Dreiteilung des Winkels mit hoher Wahrscheinlichkeit Archimedes zugeschrieben werden können.

Inhalt[Bearbeiten]

Die 15 Abschnitte des Textes enthalten Aussagen über Kreise, zu ihren Durchmessern und Radien, zu Sekanten und Tangenten und zu den Verhältnissen dieser Elemente untereinander, sowie die zugehörigen Beweise. Sie sind in der lateinischen Fassung alle, in der englischen und deutschen Fassung mit Ausnahme von Satz 7 illustriert.

Als Beispiel möge Satz 2 dienen, zitiert und illustriert nach Kliem:

Book of Lemmas Prop 2.png

Es sei AB der Durchmesser eines Halbkreises und die Tangenten an ihn in B und einem beliebigen anderen Punkte D mögen sich in T schneiden. Fällt man von D auf AB das Lot DE, und schneiden sich AT, DE in F, so ist DF = FE.
Wir verlängern AD bis zum Schnittpunkte H mit der Verlängerung von BT. Dann ist der Winkel ADB im Halbkreise ein rechter; folglich ist auch der Winkel BDH ein rechter. TB, TD sind gleich. Folglich ist T der Mittelpunkt des Halbkreises über BH als Durchmesser, der durch D geht; somit HT = TB. Da nun DE und HB parallel sind, so folgt DF = FE.“[11]


Arbelos und Salinon[Bearbeiten]

Im Besonderen werden die beiden komplexeren, jeweils aus mehreren Halbkreisen bestehenden geometrischen Figuren Arbelos und Salinon eingeführt: Der Arbelos selbst in Satz 4, die Zwillingskreise des Archimedes in Satz 5, der Inkreis des Arbelos (der wiederum in Beziehung zur Pappos-Kette steht, wie Kliem in einer Fußnote anmerkt)[12] in Satz 6, und schließlich das Salinon in Satz 14.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b Liber assumptorum. In: Infothek der Scholastik. Universität Regensburg, abgerufen am 20. April 2012.
  2. From Euclid to Newton: An Exhibition in Honor of the 1999 Conference of the Mathematical Association of America. Brown University Library, abgerufen am 20. April 2012.
  3. Aaboe: Episodes from the Early History of Mathematics. 1998, S. 77
  4. Kliem: Archimedes' Werke. 1914, S. VII
  5. Kliem: Archimedes' Werke. 1914, S. 456 ff
  6. Kliem: Archimedes' Werke. 1914, S. 459
  7. Borelli: Apollonii Pergaei Conicorum ... 1661, S. 390
  8. Heath: The works of Archimedes. 1897, S. 304
  9. Heath: The works of Archimedes. 1897, S. xxxii
  10. Kliem: Archimedes’ Werke. 1914, S. 21.
  11. Kliem: Archimedes' Werke. 1914, S. 457
  12. Kliem: Archimedes' Werke. 1914, S. 462

Literatur[Bearbeiten]

  •  Giovanni A. Borelli et al.: Apollonii Pergaei Conicorum Lib. V, VI, VII & Archimedis Assumptorum Liber. ex typographia Iosephi Cocchini ..., Florenz 1661, S. 379 − 413.
  •  Thomas L. Heath: The works of Archimedes. University of Cambridge, Cambridge 1897, S. xxxii, 301 – 318.
  •  Fritz Kliem: Archimedes' Werke : Mit modernen Bezeichnungen / hrsg. u. mit e. Einl. versehen von Sir Thomas L. Heath. Deutsch von Fritz Kliem. O. Häring, Berlin 1914, S. 456 – 470.
  •  Asger Aaboe: Episodes from the Early History of Mathematics. 13, The Mathematical Association of America, Washington, D.C. 1998, ISBN 0883856131, S. 77.

Weblinks[Bearbeiten]

Digitalisate[Bearbeiten]

Faksimiles der lateinischen (Liber Assumptorum), der englischen (Book of Lemmas) und der deutschen (Buch der Hilfssätze) Fassung sind als Digitalisate verfügbar, und zwar jeweils zum Online-Lesen und zum Download als PDF-Dokument.

Visualisierungen[Bearbeiten]