Burali-Forti-Paradoxon
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Das Burali-Forti-Paradoxon beschreibt in der naiven Mengenlehre den Widerspruch, an dem die Bildung der Menge aller Ordinalzahlen scheitert. Es ist nach seinem Entdecker Cesare Burali-Forti benannt, der 1897 zeigte, dass eine solche "Menge aller Ordinalzahlen" selbst einer Ordinalzahl 
entspräche, zu der eine größere Nachfolger-Ordinalzahl 
gebildet werden könnte, die kleiner oder gleich wäre, woraus die unmögliche Ungleichung 
folgte.
In der axiomatischen Zermelo-Mengenlehre oder Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF) kann keine Menge aller Ordinalzahlen mehr gebildet werden, da hier nur eine eingeschränkte Mengenbildung mit dem Axiom der Aussonderung gestattet ist. In ZF verhindert auch das Fundierungsaxiom sich-selbst-enthaltende Mengen, zu denen die Menge aller Ordinalzahlen gehören würde, da die Elementrelation auf den Ordinalzahlen die Kleiner-Relation ist, wenn man die Ordinalzahl-Definition von John von Neumann zugrunde legt. Die Klasse der Ordinalzahlen kann hier keine Menge sein. In der Klassenlogik kann sie aber widerspruchsfrei gebildet werden. Dort liefert dann das Burali-Forti-Paradoxon den Beweis dafür, dass die Klasse der Ordinalzahlen keine Menge, sondern eine sogenannte echte Klasse ist.
[Bearbeiten] Siehe auch
[Bearbeiten] Literatur
- Burali-Forti, Cesare: Una questione sui numeri transfiniti, in: Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 11 (1897), Seite 154-164. Englische Übersetzung A question on transfinite numbers, in Jean van Heijenoort: From Frege to Gödel, Cambridge, Massachusetts 1967, S. 104-112.
- Julien Linassier: Unendlich plus eins in Spektrum der Wissenschaft - Unendlich (plus eins). Ausgabe 2/2005, ISBN 3-938639-08-3, S. 36
- Erich Kamke: Mengenlehre, Sammlung Göschen 999, Berlin 1928 (1. Auflage), Berlin 1969 (6. Auflage)
