Càdlàg

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Eine Càdlàg-Funktion (auch Cadlag) (französisches Akronym: continue à droite, limite à gauche, „rechtsseitig stetig, mit Grenzenwerten von links“) ist in der Mathematik, insbesondere in der Stochastik, eine auf den reellen Zahlen oder einer Teilmenge I \subseteq \mathbb{R} davon definierte Funktion f \colon I \to \R, die folgende Eigenschaften erfüllt:

  • In jedem Punkt x \in I existieren die links- und rechtsseitigen Grenzwerte der Funktion, f(x\!-) und f(x\!+)
  • Für alle Punkte x \in I gilt f(x) = f(x\!+)

Der Raum aller Càdlàg-Funktionen auf einem Intervall I = [a,b], f\colon I \to \mathbb{R}^d wird oft mit D([a,b]) bezeichnet.

Analog dazu ist eine Càglàd-Funktion (oder Làdcàg–Funktion) eine Funktion f \colon I \to \R, für die überall f(x\!-) und f(x\!+) existieren und die f(x) = f(x\!-) erfüllt. Eine Funktion ist also genau dann eine Càdlàg-Funktion und eine Càglàd-Funktion, wenn sie stetig ist.

Anwendungen in der Stochastik[Bearbeiten]

Die Verteilungsfunktion F(x) = P(X \leq x) einer reellen Zufallsvariablen X ist stets eine Càdlàg-Funktion.

Ein stochastischer Prozess X=(X_t)_{t\geq0} wird càdlàg genannt, wenn fast sicher jeder Pfad t\rightarrow X_t an jeder Stelle t rechtsseitig stetig ist und dort die linksseitigen Grenzwerte existieren. Ein Beispiel dafür sind Poisson-Prozesse.