CAR-Algebra

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Die CAR-Algebra ist eine im mathematischen Gebiet der Funktionalanalysis betrachtete Algebra. Es handelt sich um eine C*-Algebra, die eng mit den in der Quantenmechanik untersuchten kanonischen Antivertauschungsrelationen (engl. canonical anticommutation relation, daher der Name CAR) verbunden ist und daher auch Fermionenalgebra genannt wird.

Konstruktion[Bearbeiten]

Bezeichnet M_n die C*-Algebra der komplexen n\times n-Matrizen, so kann man M_{2^n} vermöge des isometrischen *-Homomorphismus

M_{2^n}\rightarrow M_{2^{n+1}}, \quad X \mapsto \begin{pmatrix} X & 0 \\ 0 & X \end{pmatrix}

als Unteralgebra von M_{2^{n+1}} auffassen. Auf der Vereinigung aller so ineinander liegenden Matrizenalgebren hat man dann eine Norm, die jede der C*-Normen auf M_{2^n} fortsetzt und daher bis auf die Vollständigkeit alle Eigenschaften einer C*-Norm hat. Die Vervollständigung ist dann eine C*-Algebra, die man die CAR-Algebra nennt.

Kanonische Antivertauschungsrelationen[Bearbeiten]

Es seien H ein separabler Hilbertraum und \alpha:H\rightarrow L(H) eine lineare Abbildung in die C*-Algebra L(H) der stetigen, linearen Operatoren auf H mit folgenden Eigenschaften:

\alpha(x)\alpha(y) + \alpha(y)\alpha(x) \,=\, 0

\alpha(x)\alpha(y)^* + \alpha(y)\alpha(x)^* \,=\, \langle x,y\rangle \mathrm{id}_H

für alle Vektoren x,y\in H.

Man sagt, \alpha erfülle die kanonischen Antivertauschungsrelationen; diese werden von den in der Quantenmechanik betrachteten Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Fermionen erfüllt. Solche Abbildungen \alpha lassen sich beispielsweise auf dem Fockraum realisieren. Die Isomorphieklasse der von den Operatoren \alpha(x) erzeugten C*-Algebra erweist sich als unabhängig von der speziellen Auswahl der Abbildung \alpha, denn es gilt: [1]

  • Die von allen Operatoren \alpha(x),\, x\in H erzeugte C*-Algebra ist isomorph zur CAR-Algebra.

Ist (x_n)_{n\in \N} eine Orthonormalbasis von H, so kann die Einbettung C^*(\alpha(x_1),\ldots,\alpha(x_n)) \subset C^*(\alpha(x_1),\ldots,\alpha(x_{n+1})) mit obiger Einbettung M_{2^n} \rightarrow M_{2^{n+1}} identifiziert werden (C^*(\ldots) steht hier für die von in den Klammern aufgelisteten Operatoren erzeugte C*-Algebra).

Als UHF-Algebra und AF-Algebra[Bearbeiten]

Ihrer Konstruktion nach ist die CAR-Algebra eine UHF-Algebra, und zwar diejenige zur übernatürlichen Zahl 2^\infty (siehe dazu den Artikel UHF-Algebra). Als UHF-Algebra ist sie auch eine AF-C*-Algebra und daher unter allen AF-C*-Algebren durch ihre geordnete skalierte K_0-Gruppe ausgezeichnet. Diese ist \Z[\frac{1}{2}] mit der durch [0,1] gegebenen Skala[2]. \Z[\frac{1}{2}] steht dabei für die Menge aller rationalen Zahlen, deren Nenner eine Zweierpotenz ist.

Produktzustände und Typ III-Faktoren[Bearbeiten]

Zu jedem \lambda\in [0,1] kann man rekursiv Zustände \varphi_\lambda^{(n)}:M_{2^n}\rightarrow \C definieren, wobei

  • \varphi_\lambda^{(0)}:M_{2^0}\cong \C \rightarrow \C die identische Abbildung sei und
  • \varphi_\lambda^{(n)}(x) = \lambda \varphi_\lambda^{(n-1)}(x_{1,1})+(1-\lambda) \varphi_\lambda^{(n-1)}(x_{2,2}) für jedes n>0, wobei x=(x_{i,j}) als 2\times 2-Matrix mit Elementen aus M_{2^{n-1}} geschrieben ist.

Dann ist die Einschränkung von \varphi_\lambda^{(n)} auf M_{2^{n-1}} gleich \varphi_\lambda^{(n-1)}, denn gemäß der hier betrachteten Einbettung von M_{2^{n-1}} nach M_{2^n} ist

(\varphi_\lambda^{(n)}|_{M_{2^{n-1}}})(x) = \varphi_\lambda^{(n)}(\begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix}) = \lambda \varphi_\lambda^{(n-1)}(x)+(1-\lambda) \varphi_\lambda^{(n-1)}(x) = \varphi_\lambda^{(n-1)}(x)  .

Daher gibt es auf der CAR-Algebra einen eindeutigen Zustand \varphi_\lambda, der auf allen M_{2^n} mit \varphi_\lambda^{(n)} übereinstimmt. Dieser heißt der zu \lambda gehörige Produktzustand. Die Bezeichnung Produktzustand rührt daher, dass man ihn auch über Tensorprodukt-Konstruktionen gewinnen kann, was hier aber nicht ausgeführt wird. Nach J. Glimm lassen sich mittels dieser Zustände wie folgt Faktoren vom Typ III konstruieren.

Zum Zustand \varphi_\lambda gehört mittels GNS-Konstruktion eine Hilbertraum-Darstellung \pi_\lambda:A \rightarrow L(H_\lambda) auf einem Hilbertraum H_\lambda. Für 0 < \lambda < \frac{1}{2} ist das Bild \pi_\lambda(A)\subset L(H_\lambda) eine C*-Algebra, deren Abschluss in der schwachen Operatortopologie ein Faktor vom Typ III ist.[3] Je zwei solche Faktoren zu verschiedenen Zahlen aus dem offenen Intervall (0,\frac{1}{2}) sind nicht isomorph.[4]

GICAR-Algebra[Bearbeiten]

Sei \alpha:H\rightarrow L(H) eine Abbildung, die den oben definierten kanonischen Antivertauschungsrelationen genügt. Ist \mu \in \C mit |\mu|=1, so erfüllt auch \beta:H\rightarrow L(H),\,x\mapsto \alpha(\mu x) die kanonischen Antivertauschungsrelationen, wie man leicht nachrechnen kann. Da die von den \alpha(x) bzw. von den \beta(x) erzeugte C*-Algebra, wobei x den Hilbertraum durchläuft, in beiden Fällen die CAR-Algebra A ist, kann man zeigen, dass man einen Automorphismus \sigma_\mu:A\rightarrow A erhält, den man Eichautomorphismus nennt.

Die C*-Unteralgebra derjenigen Elemente von A, die unter allen Eichautomorphismen \sigma_\mu, |\mu|=1 invariant sind, heißt GICAR-Algebra. Dabei steht GI für gauge-invariant (deutsch: eich-invariant). Man kann zeigen, dass die GICAR-Algebra eine AF-C*-Algebra ist. Während die CAR-Algebra einfach ist, das heißt sie hat keine nicht-trivialen zweiseitigen Ideale, hat die GICAR-Algebra eine reiche Idealstruktur, die man an ihrem Bratteli-Diagramm ablesen kann. Dieses hat die Form des Pascalschen Dreiecks [5]:

\begin{matrix}
& & & & & & 1 & \\
& & & & & \nearrow & &\\
& & & & 1 & & & \ldots \\
& & & \nearrow & & \searrow & & \\
& & 1 & & & & 3 & \\
& \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \\
1 & & & & 2 & & & \ldots \\
& \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \\
& & 1 & & & & 3 & \\
& & & \searrow & & \nearrow & & \\
& & & & 1 & & & \ldots \\
& & & & & \searrow & &\\
& & & & & & 1 & 
\end{matrix}

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-821-80599-1, Example III.5.4.
  2. K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-821-80599-1, Example IV.3.4.
  3. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups. Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Theorem 6.5.15.
  4. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups. Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Theorem 8.15.13.
  5. K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-821-80599-1: Example III.5.5.