Calkin-Algebra

In der Mathematik ist die Calkin-Algebra (nach J. W. Calkin) eine spezielle Banachalgebra, die einem Banachraum zugeordnet ist. In der Calkin-Algebra kann man Eigenschaften stetiger linearer Operatoren vereinfacht betrachten, indem Operatoren, deren Differenz kompakt ist, identifiziert werden. So kommt man zu Klassifikationssätzen für normale Operatoren modulo kompakter Operatoren.

Definition

Sei $E$ ein Banachraum. Dann ist die Banachalgebra $K(E)$ der kompakten Operatoren auf $E$ ein zweiseitiges, abgeschlossenen Ideal in der Algebra $B(E)$ aller beschränkten linearen Operatoren auf $E$. Dann ist die Quotienten-Algebra $B(E)/K(E)$ mit der Quotientennorm wieder eine Banachalgebra, die sogenannte Calkin-Algebra von $E$. $\pi:B(E) \rightarrow B(E)/K(E)$ sei die Quotientenabbildung.

Fredholm-Operatoren

Fredholm-Operatoren lassen sich mittels der Calkin-Algebra charakterisieren. Der Satz von F. V. Atkinson besagt, dass für $T\in B(E)$ folgende Aussagen äquivalent sind:

• $T$ ist ein Fredholm-Operator.
• Es gibt einen Operator $S\in B(E)$, so dass $id_E-ST$ und $id_E-TS$ kompakt sind.
• $\pi_E(T)$ ist invertierbar in $B(E)/K(E)$.

Eine wichtige Folgerung ist, dass die Menge der Fredholm-Operatoren eine offene Menge in $B(E)$ ist, denn sie ist nach diesem Satz das Urbild der offenen Menge der invertierbaren Elemente in $B(E)/K(E)$ unter der stetigen Abbildung $\pi$.

C*-Algebra

Ist $H$ ein Hilbertraum, so ist $B(H)/K(H)$ als Quotient einer C^*-Algebra wieder eine C^*-Algebra. Für den Rest dieses Abschnitts sei $H$ separabel und unendlich-dimensional. Dann ist die Calkin-Algebra $B(H)/K(H)$ einfach, d.h. sie besitzt keine zweiseitigen, abgeschlossen Ideale außer $\{0\}$ und $B(H)/K(H)$ selbst, denn $K(H)\subset B(H)$ ist ein maximales zweiseitiges Ideal. Weiter besitzt die Calkin-Algebra $2^{\aleph_0}$ (siehe Kontinuum (Mathematik)) paarweise orthogonale Projektionen. Die Calkin-Algebra besitzt keine von 0 verschiedenen nicht-separablen Darstellungen, d.h. ist $\varphi: B(H)/K(H)\rightarrow B(\tilde{H})$ ein *-Homomorphismus, so ist der Hilbertraum $\tilde{H}$ entweder der Nullraum oder nicht-separabel.

Anwendungen

Bezüglich der Klassifikation normaler Operatoren ergeben sich erhebliche Vereinfachungen, wenn man Begriffe modulo kompakter Operatoren verwendet, solche Begriffe haben in der Regel den Zusatz wesentlich. Im folgenden sei H wieder ein separabler Hilbertraum.

Das wesentliche Spektrum $\sigma_e(T)$ eines Operators $T\in B(H)$ ist definiert als das Spektrum ohne die isolierten Punkte endlicher Vielfachheit (Vielfachheit bedeutet Dimension des zugehörigen Eigenraums). Das wesentliche Spektrum eines normalen Operators T ist genau das bzgl. der Calkin-Algebra berechnete gewöhnliche Spektrum von $\pi(T)$.

Man nennt zwei Operatoren $T_1$ und $T_2$ unitär äquivalent modulo K(H), falls es einen unitären Operator $U\in B(H)$ gibt, so dass $U^* T_1 U - T_2$ kompakt ist. Das bedeutet, dass $\pi(T_1)$ und $\pi(T_2)$ in der Calkin-Algebra unitär äquivalent sind, wobei die unitäre Transformation so gewählt werden kann, dass sie ein unitäres Urbild in $B(H)$ hat.

Es gilt nun der folgende Satz von Hermann Weyl, John von Neumann und I. D. Berg: Für zwei normale Operatoren $T_1,T_2 \in B(H)$ sind äquivalent:

• $T_1$ und $T_2$ sind unitär äquivalent modulo K(H).
• $\sigma_e(T_1) = \sigma_e(T_2)$.

Zusatz: Ist $\emptyset \not= X \subset {\mathbb C}$ kompakt, so gibt es einen normalen Operator $T \in B(H)$ mit $\sigma_e(T) = X$.

Der nächste Schritt besteht darin, den Begriff der Normalität nur noch modulo kompakter Operatoren zu betrachten. Man nennt einen Operator $T \in B(H)$ wesentlich normal, wenn sein Bild $\pi(T)$ in der Calkin-Algebra normal ist. Auch für diese Operatoren gelingt eine Klassifikation modulo K(H), wie der folgende Satz von L. G. Brown, R. G. Douglas und P. A. Fillmore zeigt. Für zwei wesentlich normale Operatoren $T_1,T_2 \in B(H)$ sind äquivalent:

• $T_1$ und $T_2$ sind unitär äquivalent modulo K(H).
• $\sigma_e(T_1) = \sigma_e(T_2) =: X$ und für alle $\lambda \in {\mathbb C}\setminus X$ gilt $\mathrm{ind}(T_1-\lambda 1_H) = \mathrm{ind}(T_2-\lambda 1_H)$.

Dabei steht ind für den Fredholm-Index, man beachte, dass dieser für die im Satz angegebenen Operatoren nach obigem Satz von Atkinson definiert ist.

Literatur

• F. V. Atkinson: The normal solvability of linear equations in normed spaces. In: Mat. Sb. 28 (70), 3–14 (1951)
• I. D. Berg: An Extension of the Weyl-von Neumann theorem to normal operators. In: Trans. American Mathematical Society. 160, 365–371 (1971)
• J. W. Calkin: Two-sided ideals and congruences in the ring of bounded operators in Hilbert space. In: Annals of Mathematics. 42, 839–873 (1941)
• R. G. Douglas: C*-Algebra Extensions and K-Homology. Princeton University Press 1980