Cantor-Diagonalisierung
Als Cantor-Diagonalisierung werden zwei von Georg Cantor entwickelte Diagonalisierungsbeweisverfahren bezeichnet:
- Cantors erstes Diagonalargument ist ein mathematisches Beweisverfahren, mit dem man zeigen kann, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist.
- Cantors zweites Diagonalargument ist ein mathematischer Beweis dafür, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar ist. Dieser Beweis ist auch unter dem Namen Diagonalisierung bekannt.
Im Jahr 1874 fand bzw. veröffentlichte Georg Cantor einen Beweis zur Abzählbarkeit der rationalen Zahlen und der algebraischen Zahlen durch Anwendung des „Ersten Cantorschen Diagonalverfahrens“. Gleichzeitig veröffentlichte er einen Beweis zur Überabzählbarkeit der reellen Zahlen inkl. Folgerung der Existenz nicht-algebraischer reeller Zahlen. Den Beweis der Mächtigerkeit der Potenzmenge einer beliebigen Menge und damit zur Überabzählbarkeit der Potenzmenge der natürlichen Zahlen fand bzw. veröffentlichte Georg Cantor im Jahr 1890/1891. Dieser Beweis wird als "Zweites Cantorsche Diagonalverfahren" bezeichnet und war Auslöser der Begründung der transfiniten Mengenlehre durch Georg Cantor in den Jahren 1895 bis 1897. Die beiden Überabzählbarkeitsbeweise belegen die Überabzählbarkeit des arithmetischen Kontinuums und damit implizit, durch Ausnutzung des Postulats "Menge der reellen Zahlen = Menge der Punkte einer beidseitig unendlich ausgedehnten Gerade", des geometrischen Kontinuums. Darüber hinaus ist noch ein expliziter Beweis der Überabzählbarkeit des geometrischen Kontinuums bekannt, welcher auf einer Beweisidee von Amir D. Aczel aus dem Jahr 2000 basiert und wegen dieser Beweisidee als „Schirmchenbeweis“ bezeichnet wird.[1]
Verwandte Themen [Bearbeiten]
Einzelnachweise [Bearbeiten]
- ↑ Peter Weigel. Jenseits der Endlichkeit. Eine Einführung in die cantorsche Unendlichkeitslehre. VDM Verlag Dr. Müller, Saarbrücken, Oktober 2008, ISBN 978-3-639-08990-5.
