Cap-Produkt

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In der Algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, definiert das Cap-Produkt eine Verknüpfung zwischen Kohomologie und Homologie eines Raumes.

Definition[Bearbeiten]

Sei X ein topologischer Raum, sei C_n(X) die n-te singuläre Kettengruppe, also die freie abelsche Gruppe über der Menge aller stetigen Abbildungen des Standard-n-Simplexes \Delta^n nach X und C^n(X)=Hom(C_n(X),\Z). Man bezeichne mit \iota_{0\ldots p} \colon \Delta^p\rightarrow\Delta^{p+q} beziehungsweise \iota_{p\ldots p+q} \colon \Delta^q\rightarrow\Delta^{p+q} die Inklusionen des Standard-p- beziehungsweise q-Simplexes als "vordere p-dimensionale Seite" beziehungsweise "hintere q-dimensionale Seite" in den Standard-(p+q)-Simplex.

Für \psi\in C^q(X) und einen singulären Simplex \sigma:\Delta^p\rightarrow X (mit p\ge q) definiert man

\sigma\frown\psi:=(-1)^{pq}\psi(\sigma\circ\iota_{0\ldots q})\sigma\circ\iota_{q\ldots p}

und setzt dies linear zu einer Abbildung

C^q(X)\times C_p(X)\rightarrow C_{p-q}(X)

fort.

Allgemeiner sei R ein Ring und sei C_n(X;R)=C_n(X)\otimes_\Z R, C^n(X)=Hom(C_n(X),R). Dann erhält man eine Abbildung

C^q(X;R)\times C_p(X;R)\rightarrow C_{p-q}(X;R).

Aus der Relation

\partial(\sigma \frown \psi) = (-1)^q(\partial \sigma \frown \psi - \sigma \frown \delta \psi)

folgt, dass das Cup-Produkt eine wohldefinierte Abbildung

H^q(X;R)\times H_p(X;R)\rightarrow H_{p-q}(X;R)

definiert.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Für stetige Abbildungen f:X\rightarrow Y gilt

 f_*( c ) \frown \psi = f_*(c \frown f^* (\psi))

mit c\in C_p(X;R), \psi\in C^q(Y;R).

Das Cap-Produkt hängt mit dem Cup-Produkt über die folgende Gleichung zusammen:

 \psi(c \frown \varphi) = (\varphi \smile \psi)(c)

für c\in C_p(X;R) ,  \psi \in C^q(X;R),  \varphi \in C^{p-q}(X;R).

Anwendung: Poincaré-Dualität[Bearbeiten]

Hauptartikel: Poincaré-Dualität

Sei M eine geschlossene, orientierbare n-Mannigfaltigkeit und

\left[M\right]\in H_n(M;\Z)

die Fundamentalklasse. Dann realisiert das Cap-Produkt mit \left[M\right] einen Isomorphismus

H^k(M;\Z)\rightarrow H_{n-k}(M;\Z)

für k=0,\ldots,n.

Literatur[Bearbeiten]