Carmichael-Zahl

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Eine natürliche Zahl heißt Carmichael-Zahl, benannt nach dem Mathematiker Robert Daniel Carmichael, wenn sie eine fermatsche Pseudoprimzahl bezüglich aller zu ihr teilerfremden Basen ist. Carmichael-Zahlen spielen eine Rolle bei der Analyse von Primzahltests.

Jede Carmichael-Zahl ist quadratfrei und das Produkt mindestens dreier Primzahlen. Die kleinste Carmichael-Zahl ist die Zahl 561 = 3·11·17. Im Jahr 1994 bewiesen Carl Pomerance, W. R. Alford und Andrew Granville die Existenz unendlich vieler Carmichael-Zahlen.[1]

Es ist einfach, eine Carmichael-Zahl zu erkennen, wenn man ihre Primfaktorzerlegung kennt. Dies ist dem Satz von Korselt zu verdanken (siehe weiter unten). Es ist auch relativ einfach, Carmichael-Zahlen zu erzeugen, zumal Algorithmen wie der nach J. Chernick existieren. Problematisch ist es aber – gerade bei großen Zahlen – zu erkennen, ob es sich bei einer Zahl um eine Carmichael-Zahl handelt. Diese Schwierigkeit haben die Carmichael-Zahlen mit den Primzahlen gemeinsam, denn entweder man führt eine Faktorisierung durch, oder man wendet den kleinen fermatschen Satz auf die Zahl an, wobei man für die Basen, die nicht auf eine Primalität weisen und die bei Primzahlen nicht vorkommen, auf Teilbarkeit testen muss. In der Praxis wird das Unterscheiden einer unzerlegten Carmichael-Zahl von einer Primzahl dadurch erleichtert, dass es keine starken Carmichael-Zahlen gibt.[2] Man kann zu jeder Carmichael-Zahl N stets eine teilerfremde Basis a finden, so dass die Primzahleigenschaft a^{(N-1)/2} \equiv \left(\frac{a}{N}\right) \pmod N (unter Verwendung des Jacobi-Symbols und der Schreibweise für Kongruenz) verletzt ist.

Definition[Bearbeiten]

Definition
Eine zusammengesetzte natürliche Zahl n heißt Carmichael-Zahl, falls für alle zu n teilerfremden Zahlen a die folgende Kongruenz erfüllt ist:

 a^{n-1} \equiv 1 \mod n .


Beispiel
Wie erwähnt, ist 561 = 3·11·17 die kleinste Carmichael-Zahl. Für alle Basen a, die keinen Primfaktor mit 561 gemeinsam haben, gilt nämlich a560 ≡ 1 mod 561.

561 ist durch 3, 11, 17, 33, 51 und 187 teilbar. Für diese Teiler gilt die Kongruenz jedoch nicht: 3560 ≡ 375 mod 561, 11560 ≡ 154 mod 561, 17560 ≡ 34 mod 561, usw.

Satz von Korselt[Bearbeiten]

Bereits im Jahr 1899 bewies Alwin Reinhold Korselt folgenden Satz:

Eine natürliche Zahl n ist genau dann eine Carmichael-Zahl, wenn sie quadratfrei ist und für alle ihre Primteiler p gilt, dass p - 1 die Zahl n - 1 teilt.

Verschärfung
Aufgrund der Identität n-1 = n/p - 1 + (p-1)·n/p gilt für jeden Primteiler p einer natürlichen Zahl n:

n-1n/p - 1 mod p-1.

Somit lässt sich der zweite Teil von Korselts Satz auch formulieren als: Eine Zahl n ist genau dann eine Carmichael-Zahl, wenn für jeden ihrer Primteiler gilt: p-1 teilt n/p - 1.

Carmichael hat dann 1910 mit 561 die erste Zahl gefunden, die den Eigenschaften des Theorems von Korselt entspricht.

Die Folge der Carmichael-Zahlen[Bearbeiten]

Carmichael-Zahlen haben mindestens drei Primfaktoren. Wie in der Einleitung erwähnt weiß man seit 1994, dass es unendlich viele Carmichael-Zahlen gibt.

Die Tabelle zeigt den Beginn der Folge der Carmichael-Zahlen (Folge A002997 in OEIS) kleiner 100000:

Carmichael-Zahl Primfaktoren
561 3⋅11⋅17
1105 5⋅13⋅17
1729 7⋅13⋅19
2465 5⋅17⋅29
2821 7⋅13⋅31
6601 7⋅23⋅41
8911 7⋅19⋅67
10585 5⋅29⋅73
15841 7⋅31⋅73
29341 13⋅37⋅61
41041 7⋅11⋅13⋅41
46657 13⋅37⋅97
52633 7⋅73⋅103
62745 3⋅5⋅47⋅89
63973 7⋅13⋅19⋅37
75361 11⋅13⋅17⋅31

Erzeugung von Carmichael-Zahlen[Bearbeiten]

Methode von Chernick[Bearbeiten]

J. Chernick fand 1939 ein relativ einfaches System, um Carmichael-Zahlen zu konstruieren:

Falls die drei Zahlen 6m + 1, 12m + 1 und 18m + 1 Primzahlen sind, so ist ihr Produkt (6m + 1)(12m + 1)(18m + 1) eine Carmichael-Zahl.[3]

Beispielsweise hat 1729 = 7·13·19 diese Struktur. Interessant ist, dass die Carmichael-Zahl 172081 = 31·61·91 die Bedingung „fast erfüllt“: 91 ist nicht prim, aber fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis 3.

Methode von Michon[Bearbeiten]

Gérard P. Michon fand eine ähnliche Methode, um Carmichael-Zahlen zu konstruieren:

Wenn m ≡ 326 mod 616 und die drei Zahlen 7m + 1, 8m + 1 und 11m + 1 Primzahlen sind, so ist ihr Produkt (7m+1)·(8m+1)·(11m+1) eine Carmichael-Zahl.

m muss dann durch 3 teilbar sein, da sonst einer der drei Faktoren durch 3 teilbar ist.
Beispiel: für m = 24966 sind die drei Zahlen 174763, 199729 und 274627 prim und ihr Produkt ist eine Carmichael-Zahl.
Eine mit dieser Methode erzeugte Carmichael-Zahl mit 1000 Stellen ist

(12936·10329 - 59827428149)·(14784·10329 - 68374203599)·(20328·10329 - 94014529949).

Neuere Konstruktionen[Bearbeiten]

Basierend auf einer Idee von Paul Erdős können mit Hilfe gruppentheoretischer Überlegungen und moderner Computer-Algorithmen weitaus größere Carmichael-Zahlen konstruiert werden. Im Juli 2012 wurde nach weitgehendem Ausreizen bereits bekannter Verfahren eine Carmichael-Zahl mit mehr als 10 Milliarden Primfaktoren und fast 300 Milliarden Dezimalstellen vorgestellt.[4]

Asymptotische Anzahl[Bearbeiten]

Erdős vermutete bereits 1956, dass es unendlich viele Carmichael-Zahlen gibt, und dass für ihre Anzahl C(x) unterhalb einer Schranke x kein Exponent a < 1 existiert mit C(x) < x^a bei beliebig großem x.[5]

Der Beweis von Alford/Granville/Pomerance liefert die untere Abschätzung der Anzahlfunktion C(x) > x^{2/7} für alle hinreichend großen x. Dieses Ergebnis wurde im Jahr 2005 verbessert zu C(x) > x^{0.33} für hinreichend große x.[6] Rechnungen bis x=10^{15} legen ein Wachstum mit der unteren Abschätzung x^{1/3} nahe, so dass Daniel Shanks überzeugt war, x^{1/2} sei eine sehr sichere obere Abschätzung für die Anzahlfunktion. Er ließ sich jedoch durch Diskussion mit den genannten Autoren davon überzeugen, dass die Vermutung von Erdös der wahren Asymptotik entsprechen könnte. Im Jahre 2002 publizierten Granville und Pomerance eine Analyse der Verteilung der Carmichael-Zahlen anhand weiterer plausibler und begründeter Vermutungen, die ein Ergebnis (keinen Beweis) sowohl entsprechend dem Argument von Erdös als auch im Einklang mit den empirischen Resultaten für kleine x lieferte und so den von Shanks hervorgehobenen scheinbaren Widerspruch auflöste.[7]

Quellen[Bearbeiten]

  1. W. R. Alford, A. Granville, C. Pomerance: There are Infinitely Many Carmichael Numbers, Ann. Math. 139, 703–722, 1994.
  2. Derrick Lehmer: Strong Carmichael numbers. J. Austral. Math. Soc. 21 (Series A) (1976), S. 508–510
  3. Zum (einfachen) Beweis siehe Eric W. Weisstein: "Carmichael number" (→ Weblinks).
  4. Steven Hayman, Andrew Shallue: Constructing a ten billion factor Carmichael number (PDF-Datei; 91 kB) Poster auf der ANTS X-Konferenz, San Diego, Juli 2012
  5. Siehe Crandall, Pomerance: Prime Numbers, S. 122
  6. Glyn Harman: On the number of Carmichael numbers up to x, Bull. London Math. Soc. 37, 641–650, 2005.
  7. A. Granville, C. Pomerance: Two contradictory conjectures concerning Carmichael numbers. (PDF; 347 kB) Math. Comp. 71 (2002), Nr. 238, S. 883–908

Literatur[Bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]