Casimir-Operator

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Der Casimir-Operator (auch Casimir-Invariante, benannt nach dem Physiker Hendrik Casimir) wird im mathematischen Teilgebiet der Algebra und der Differentialgeometrie untersucht. Er ist ein spezielles Element aus dem Zentrum der universellen einhüllenden Algebra einer Lie-Algebra. Ein typisches Beispiel ist der quadrierte Drehimpulsoperator, der eine Casimir-Invariante der dreidimensionalen Drehgruppe ist.

Definition[Bearbeiten]

Angenommen, \mathfrak{g} ist eine n-dimensionale halbeinfache Lie-Algebra. Sei

\{X_i\}_{i=1}^n

irgendeine Basis von \mathfrak{g} und

\{X^i\}_{i=1}^n

sei die Dualbasis von \mathfrak{g} hinsichtlich einer festen invarianten Bilinearform (z.B. der Killingform) auf \mathfrak{g}. Das quadratische Casimir-Element \Omega ist das durch die Formel

\Omega = \sum_{i=1}^n X_i X^i

gegebene Element der universellen einhüllenden Algebra U(\mathfrak{g}). Obschon sich die Definition des Casimir-Elements auf die direkte Wahl einer Basis in der Lie-Algebra bezieht, ist es einfach zu zeigen, dass das erzeugte Element \Omega davon unabhängig ist. Darüber hinaus impliziert die Invarianz der Bilinearform, die in der Definition benutzt wurde, dass das Casimir-Element mit allen Elementen der Lie-Algebra \mathfrak{g} kommutiert und daher im Zentrum der universellen einhüllenden Algebra U(\mathfrak{g}) liegt.

Sei \rho eine beliebige Darstellung der Lie-Algebra \mathfrak{g} auf einem (gegebenenfalls unendlichdimensionalen) Vektorraum V. Dann ist die korrespondierende quadratische Casimir-Invariante \rho(\Omega) der durch

\rho(\Omega) = \sum_{i=1}^n \rho(X_i)\rho(X^i)

gegebene lineare Operator auf V.

Anwendungen[Bearbeiten]

Ein Sonderfall dieser Konstruktion spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie beziehungsweise der globalen Analysis. Operiert eine zusammenhängende Lie-Gruppe G mit zugehöriger Lie-Algebra \mathfrak{g} auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M, so werden die Elemente von \mathfrak{g} durch Differentialoperatoren erster Ordnung auf M beschrieben. Sei \rho die Darstellung auf dem Raum der glatten Funktionen auf M. In diesem Fall ist die durch obige Formel gegebene Casimir-Invariante der G-invariante Differentialoperator zweiter Ordnung auf M.

Man kann noch allgemeinere Casimir-Invarianten definieren; dies geschieht beispielsweise bei Untersuchungen von Pseudo-Differentialoperatoren in der Fredholm-Theorie.

Literatur[Bearbeiten]

  • James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, 2. überarbeitete Auflage, Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5