Catalanischer Körper

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Ein catalanischer Körper oder auch dual-archimedischer Körper ist ein Körper, der sich zu einem archimedischen Körper dual verhält. So ist zum Beispiel das Rhombendodekaeder dual zum Kuboktaeder. Benannt sind die catalanischen Körper – von denen es dreizehn gibt – nach dem belgischen Mathematiker Eugène Charles Catalan. Die catalanischen Körper sind konvexe Polyeder.

Ein catalanischer Körper hat nur eine Art von Seitenflächen, d.h. sämtliche Seitenflächen sind zueinander kongruent. Die Seitenflächen sind nichtregelmäßige Vielecke. Andererseits gibt es mindestens zwei verschiedene Arten von Ecken (das Rhombendodekaeder hat zum Beispiel Ecken, an die drei Rhomben, und solche, an die vier Rhomben grenzen). Bei den archimedischen Körpern verhält es sich andersherum: Sie haben eine Art von Ecken und mehrere Arten von Seitenflächen.

Allen catalanischen Körpern ist gemein, dass sie eine Inkugel, die sämtliche Flächen von innen berührt, aufweisen. Außerdem existiert eine Kantenkugel, die sämtliche Kanten von innen berührt. Alle Diederwinkel eines catalanischen Körpers sind gleich.

Eine charakteristische Eigenschaft der catalanischen Körper ist die Uniformität der Flächen. Das heißt: Sind A,B zwei beliebige Seitenflächen, dann kann man den Körper so drehen oder spiegeln, dass der Körper in sich und die Seite A in die Seite B überführt wird. Diese Eigenschaft folgt aus der Uniformität der Ecken für archimedische Körper.

Übersicht der catalanischen Körper
Catalanischer Körper Bild Dualer Körper Flächen Ecken Kanten Flächenform Symmetrie
Triakistetraeder Triakistetraeder
(Animation)
Tetraederstumpf 12 8 18 gleichschenkliges Dreieck T_d\
Rhombendodekaeder Rhombendodekaeder
(Animation)
Kuboktaeder 12 14 24 Rhombus O_h\
Tetrakishexaeder Tetrakishexaeder
(Animation)
Oktaederstumpf 24 14 36 gleichschenkliges Dreieck O_h\
Triakisoktaeder Triakisoktaeder
(Animation)
Hexaederstumpf 24 14 36 gleichschenkliges Dreieck O_h\
Deltoidalikositetraeder Deltoidalikositetraeder
(Animation)
Rhombenkuboktaeder 24 26 48 Deltoid O_h\
Pentagonikositetraeder
(zwei spiegelbildlich
entgegengesetzte
Varianten)
Pentagonikositetraeder (Guzs)
(Animation)
Pentagonikositetraeder (Uzs)
(Animation)
abgeschrägtes Hexaeder 24 38 60 unregelmäßiges Fünfeck O\
Rhombentriakontaeder Rhombentriakontaeder
(Animation)
Ikosidodekaeder 30 32 60 Rhombus I_h\
Hexakisoktaeder
oder
Disdyakisdodekaeder
Hexakisoktaeder
(Animation)
Kuboktaederstumpf 48 26 72 unregelmäßiges Dreieck O_h\
Pentakisdodekaeder Pentakisdodekaeder
(Animation)
Ikosaederstumpf 60 32 90 gleichschenkliges Dreieck I_h\
Triakisikosaeder Triakisikosaeder
(Animation)
Dodekaederstumpf 60 32 90 gleichschenkliges Dreieck I_h\
Deltoidalhexakontaeder Deltoidalhexakontaeder
(Animation)
Rhombenikosidodekaeder 60 62 120 Deltoid I_h\
Pentagonhexakontaeder
(zwei spiegelbildlich
entgegengesetzte
Varianten)
Pentagonhexakontaeder (Guzs)
(Animation)
Pentagonhexakontaeder (Uzs)
(Animation)
abgeschrägtes Dodekaeder 60 92 150 unregelmäßiges Fünfeck I\
Hexakisikosaeder
oder
Disdyakistriakontaeder
Hexakisikosaeder
(Animation)
Ikosidodekaederstumpf 120 62 180 unregelmäßiges Dreieck I_h\

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Catalanische Körper – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien