Catalansche Konstante

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Die catalansche Konstante, üblicherweise mit G bezeichnet, ist eine mathematische Konstante. Sie ist der Wert der Reihe

\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2} = 1 - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots ,

also der Wert \beta(2) der dirichletschen Betafunktion an der Stelle 2. Die Konstante ist nach Eugène Catalan benannt. Ihre Irrationalität wird vermutet, ist aber bis heute unbewiesen. Bekannt ist, dass unendlich viele der Zahlen β(2k), k = 1, 2, 3 …, irrational sein müssen, dabei mindestens eine von β(2), β(4), β(6), β(8), β(10), β(12) und β(14).[1]

Geschichte und Bezeichnung[Bearbeiten]

Catalan bezeichnete diese Konstante in einer Arbeit von 1867 mit G und gab zahlreiche Integral- und Reihendarstellungen dafür an.

Wert[Bearbeiten]

Ein Näherungswert ist

G = 0,91596\text{ }55941\text{ }77219\text{ }01505\text{ }46035\text{ }14932\text{ }38411\text{ }07741\text{ }49374\text{ }28167\text{ }... (Folge A006752 in OEIS)

Derzeit (16. April 2009) sind 31.026.000.000 dezimale Nachkommastellen bekannt.[2]

Weitere Darstellungen[Bearbeiten]

Es gibt eine reichhaltige Fülle anderer Darstellungen, ein Bruchteil davon wird im Folgenden wiedergegeben:

Integraldarstellungen[Bearbeiten]

G = -\int_0^1 \frac{\ln t}{1 + t^2}\, {\rm d}t
G = \int_0^1 \frac{\arctan t}{t}\, {\rm d}t
G = \int_0^1\!\!\int_0^1 \frac{1}{1 + x^2 y^2}\, {\rm d}x\,{\rm d}y

Reihendarstellungen[Bearbeiten]

Nach S. Ramanujan gilt:

G = \frac{\pi}{8} \ln(2 + \sqrt{3}) + \frac3{8} \sum_{n=0}^\infty \frac1{(2n+1)^2\binom{2n}{n}}\ .

Eine andere Reihe enthält die riemannsche Zetafunktion:

G = \frac{1}{16}\sum_{n=1}^\infty (n+1) \frac{3^n-1}{4^n} \zeta(n+2)\ .

Sehr schnell konvergiert folgende Summe (Alexandru Lupaş 2000):[3]

G = \frac{1}{64} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} \cdot 2^{8n}\cdot (40 n^2 - 24 n + 3) \cdot (2n)!^3 \cdot n!^2}{n^3 \cdot (2n-1) \cdot (4n)!^2}\ .

BBP-artige Reihen[Bearbeiten]

Man hat lange nach einer BBP-Reihe gesucht. Zunächst wurden nur sehr lange Exemplare gefunden. Relativ kurz ist die 9-gliedrige von Victor Adamchik (2007):

\textstyle G = \frac{3}{64} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{64^n}
\bigl(\frac{32}{(12n+1)^2}
-\frac{32}{(12n+2)^2}
-\frac{32}{(12n+3)^2}
-\frac{8}{(12n+5)^2}
-\frac{16}{(12n+6)^2}
-\frac{4}{(12n+7)^2}
-\frac{4}{(12n+9)^2}
-\frac{2}{(12n+10)^2}
+\frac{1}{(12n+11)^2}\bigr)

Literatur[Bearbeiten]

  • E. Catalan: Mémoire sur la transformation des séries et sur quelques intégrales définies (1. April 1865), Mémoires couronnés et mémoires des savants étrangers 33, 1867, S. 1–50 (französisch; „G=0,915 965 594 177 21“ auf S. 30; im Internet-Archiv: [1])
  • L. A. Ljusternik: Mathematical Analysis. Functions, Limits, Series, Continued Fractions, 1965, S. 313−314 (englisch)

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Tanguy Rivoal, Wadim Zudilin: Diophantine properties of numbers related to Catalan’s constant (PDF-Datei, 207 kB), Mathematische Annalen 326, August 2003, S. 705–721 (englisch)
  2. Large Computations von Alexander J. Yee (englisch)
  3. Alexandru Lupaş: Formulae for some classical constants (PDF-Datei, 169 kB), Preprint, 2000; in Heiner Gonska et al. (Hrsg.): Proceedings of the 4th Romanian-German seminar on approximation theory and its applications, Braşov, Romania, July 3-5, 2000, Schriftenreihe des Fachbereichs Mathematik der Gerhard-Mercator-Universität Duisburg SM-DU-485, 2000, S. 70–76

Weblinks[Bearbeiten]