Anfangswertproblem

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Als Anfangswertproblem (abgekürzt AWP), manchmal auch Anfangswertaufgabe (abgekürzt AWA) oder Cauchy-Problem genannt, bezeichnet man in der Analysis eine wichtige Klasse von Differentialgleichungen. In diesem Artikel wird das Anfangswertproblem zunächst für gewöhnliche Differentialgleichungen und später auch für partielle Differentialgleichungen erklärt.

Gewöhnliche Differentialgleichungen[Bearbeiten]

Anfangswertproblem 1. Ordnung[Bearbeiten]

Ein Anfangswertproblem erster Ordnung ist eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung mit einer zusätzlichen Bedingung. Zu vorgegebenen Anfangsdaten, nämlich dem Anfangswert y_0 und einem Zeitpunkt t_0\in\mathbb{R} ist die Funktion y eine Lösung des Anfangswertproblems, wenn y die Differentialgleichung löst und wenn zusätzlich y(t_0)=y_0 gilt. Das Gleichungssystem

y'(t) = f(t, y(t)),\quad y(t_0) = y_0

heißt also Anfangswertproblem 1. Ordnung.

Anfangswertproblem k-ter Ordnung[Bearbeiten]

Gegeben seien k\in\N und eine Funktion f\colon D\rightarrow\R^n. Der Definitionsbereich D von f sei hierbei eine Teilmenge von I \times \R^{n\times k}, worin I \subset \mathbb{R} ein Intervall bezeichnet, welches t_0 umfasst. Dann heißt

\begin{cases}
  y^{(k)}=f(t,y(t),y'(t),\dotsc,y^{(k-1)}(t))& \\
  y^{(i)}(t_0)=y_i,\ i=0,\dotsc, k-1&
\end{cases}

ein Anfangswertproblem k-ter Ordnung. Jedes Anfangswertproblem k-ter Ordnung lässt sich umschreiben in ein Anfangswertproblem 1. Ordnung.

Ein spezielles Anfangswertproblem ist das Riemann-Problem, bei dem die Anfangsdaten konstant sind bis auf eine Unstetigkeitsstelle.

Anfangswertprobleme treten zum Beispiel in den Naturwissenschaften auf, wenn für natürliche Prozesse ein mathematisches Modell gesucht wird.

Wichtige Sätze, die die Lösbarkeit von Anfangswertproblemen für gewöhnliche Differentialgleichungen betreffen, sind der (lokale) Existenzsatz von Peano und der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf. Ein Hilfsmittel ist die grönwallsche Ungleichung.

Beispiel[Bearbeiten]

Das Anfangswertproblem

y'(t) = 2\cdot{\rm sgn}(y(t))\cdot\sqrt{|y(t)|}\ ,\ y(0) = 0\ ,

welches zu

f(t,x) := 2\cdot{\rm sgn}(x)\cdot\sqrt{|x|}

korrespondiert, hat unendlich viele Lösungen, nämlich neben der trivialen Lösung

y(t) \equiv 0

auch noch für jedes c \geq 0 die Lösungen

y(t) = \left\{\begin{array}{ll}0\ ,&\textrm{falls}\ t < c\ ,\\(t-c)^2\ ,&\textrm{falls}\ t \geq c\ ,\\\end{array}\right.

sowie

y(t) = \left\{\begin{array}{ll}0\ ,&\textrm{falls}\ t < c\ ,\\-(t-c)^2\ ,&\textrm{falls}\ t \geq c\ .\\\end{array}\right.

Damit Anfangswertprobleme eindeutige Lösungen besitzen, sind Zusatzeigenschaften (an f) nachzuweisen. Dies kann beispielsweise über den Satz von Picard-Lindelöf geschehen, dessen Voraussetzungen in diesem Beispiel jedoch nicht erfüllt werden.

Numerische Lösungsmethoden[Bearbeiten]

Zur numerischen Lösung von Anfangswertproblemen werden Einschritt- oder Mehrschrittverfahren eingesetzt. Dabei wird die Differentialgleichung mittels einer Diskretisierung approximiert.

Abstraktes Cauchy-Problem[Bearbeiten]

Seien X ein Banachraum und A\colon D(A) \subset X \rightarrow X ein linearer oder nichtlinearer Operator. Die Fragestellung, ob bei gegebenem T>0, u_0 \in X und f\colon (0, T) \rightarrow X eine differenzierbare Funktion u\colon [0,T)\rightarrow X mit u(t) \in D(A) für alle T>t>0 existiert, die das Anfangswertproblem

\begin{matrix} u'(t)+A(u(t))&=&f(t), & \quad T>t>0\\ u(0)&=&u_0& \end{matrix}

erfüllt, bezeichnet man als abstraktes Cauchy-Problem. Zu ihrer Lösbarkeit benötigt man die Theorie der stark stetigen Halbgruppen bzw. der analytischen Halbgruppen. Zu den verschiedenen Anfangsbedingungen und Operatoren gibt es verschiedene Arten des Lösungsbegriffes, im linearen distributionelle Lösungen, im nichtlinearen die integrale Lösung. Mit klassisch differenzierbaren, beziehungsweise fast überall differenzierbaren Lösungen beschäftigt sich die nachgelagerte Regularitätstheorie.

Partielle Differentialgleichungen[Bearbeiten]

Verallgemeinert man das Cauchy-Problem auf mehrere Veränderliche, etwa n Veränderliche x_1,\dotsc, x_n, so erhält man partielle Differentialgleichungen. Im Folgenden stehe \alpha \in \N_0^n für einen Multiindex der Länge n. Beachte, dass es genau \tbinom{n+k-1}{k} Multiindizes mit |\alpha| := \alpha_1+\dotsb +\alpha_n \le k gibt. Es sei weiter eine Funktion F in n+ \tbinom{n+k-1}{k} Variablen gegeben. Beim allgemeinen Cauchy-Problem sucht man nach Funktionen u, die von n Variablen x_1,\dotsc, x_n abhängen und die Gleichung

(1) F(x,(\partial^\alpha u(x))_{|\alpha|\le k)}) \,=\,0

erfüllen. Beachte, dass die Stelligkeit von F gerade so gewählt wurde, dass man x=(x_1,\dotsc, x_n) und alle partiellen Ableitungen \partial^\alpha u(x) einsetzen kann. Darüber hinaus fordert man, dass die gesuchten Funktionen den im Folgenden beschriebenen sogenannten Anfangs- bzw. Randbedingungen genügen. Zu deren Formulierung sei S eine Hyperfläche der Klasse Ck mit Normalenfeld \nu. Mit \partial_\nu^j seien die Normalenableitungen bezeichnet. Sind dann \varphi_0,\dotsc, \varphi_{k-1} vorgegebene auf S definierte Funktionen, so fordert man beim allgemeinen Cauchy-Problem, dass die Funktionen u zusätzlich die Bedingungen

(2) u=\varphi_0,\, \partial_\nu u = \varphi_1,\,\dotsc,\,\partial_\nu^{k-1} u = \varphi_{k-1} auf S

erfüllen. Die Funktionen \varphi_j heißen die Cauchy-Daten des Problems, jede Funktion u, die beide Bedingungen (1) und (2) erfüllt, heißt eine Lösung des Cauchy-Problems.

Durch eine geeignete Koordinatentransformation kann man sich auf den Fall S=\{x=(x_1,\dotsc, x_n);\, x_n=0\} zurückziehen. Dann spielt die letzte Variable eine Sonderrolle, denn die Anfangsbedingungen sind dort gegeben, wo diese Variable 0 ist. Da diese Variable in vielen Anwendungen als Zeit interpretiert wird, benennt man sie gern in t (lateinisch tempus = Zeit) um, die Anfangsbedingungen beschreiben dann die Verhältnisse zum Zeitpunkt t=0. Die Variablen sind also x_1,\dotsc,x_{n-1},t. Da die betrachtete Hyperebene durch die Bedingung t=0 gegeben ist, wird die Normalenableitung einfach zur Ableitung nach t. Schreibt man abkürzend x=(x_1,\dotsc, x_{n-1}) und \alpha = (\alpha_1,\dotsc, \alpha_{n-1}), so lautet das Cauchy-Problem nun

(1')  F(x,t,(\partial_x^\alpha\partial_t^j u(x,t))_{|\alpha|+j\le k)}) \,=\,0
(2')  u(x,0)=\varphi_0(x),\, \partial_t u(x,0) = \varphi_1(x),\,\dotsc,\,\partial_t^{k-1} u(x,0) = \varphi_{k-1}(x).

Ein typisches Beispiel ist etwa die dreidimensionale Wellengleichung

\partial_t^2 u - c^2\cdot\Delta u = f
u(x,0) = \varphi_0(x),\, \partial_t u(x,0) = \varphi_1,

wobei c eine Konstante, f eine vorgegebene Funktion und \Delta = \partial_{x_1}^2+\partial_{x_2}^2+ \partial_{x_3}^2 der Laplace-Operator seien.

Ist u eine Lösung, was gleichzeitig ausreichende Differenzierbarkeit implizieren soll, so sind alle Ableitungen \partial_x^\alpha\partial_t^j u(x,0) mit |\alpha|+j\le k, j<k bereits durch die Cauchy-Daten vorgegeben, denn es ist \partial_x^\alpha\partial_t^j u(x,0) = \partial_x^\alpha \varphi_j. Lediglich die Ableitung \partial_t^k u ist nicht durch (2') festgelegt, hier kann also nur (1') eine Bedingung stellen. Damit (1') tatsächlich eine nicht-triviale Bedingung und damit das Cauchy-Problem nicht von vornherein schlecht gestellt ist, wird man fordern, dass man die Gleichung (1') nach \partial_t^k u auflösen kann. Das Cauchy-Problem hat dann die Form

(1") \partial_t^k u(x,t) = G(x,t,(\partial_x^\alpha\partial_t^j u(x,t))_{|\alpha|+j\le k, j<k}) \,=\,0
(2")  u(x,0)=\varphi_0(x),\, \partial_t u(x,0) = \varphi_1(x),\,\dotsc,\,\partial_t^{k-1} u(x,0) = \varphi_{k-1}(x),

wobei G eine geeignete Funktion der Stelligkeit n-1 + \tbinom{n+k-1}{k} sei. In der zuletzt gegebenen Formulierung haben alle auftretenden Ableitungen eine Ordnung \le k, und die k-te Ableitung nach t tritt tatsächlich auf, denn dies ist gerade die linke Seite von (1") und sie kommt nicht auf der rechten Seite von (1") vor. Man nennt k daher auch die Ordnung des Cauchy-Problems. Das obige Beispiel der dreidimensionalen Wellengleichung ist offenbar leicht in diese Form zu bringen, es liegt daher ein Cauchy-Problem der Ordnung 2 vor.

Sind alle Cauchy-Daten analytisch, so sichert der Satz von Cauchy-Kowalewskaja eindeutige Lösungen des Cauchy-Problems.

Literatur[Bearbeiten]

  • Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eine Einführung. 7. Auflage. Springer, 2000, ISBN 3-540-67642-2.
  • Isao Miyadera, Choong Yun Cho: Nonlinear Semigroups. American Mathemat. Soc., Providence, RI 1992, ISBN 0-8218-4565-9.
  • Amnon Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer-Verlag, New York 1983, ISBN 0-387-90845-5.
  • Gerald B. Folland: Introduction to Partial Differential Equations. Princeton University Press, 1976, ISBN 0-691-08177-8. (insbesondere Kapitel 1.C. für das allgemeine Cauchy-Problem)

Weblinks[Bearbeiten]