Cauchy-Produktformel

Die Cauchy-Produktformel, auch Cauchy-Produkt oder Cauchy-Faltung, benannt nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy gestattet die Multiplikation unendlicher Reihen.

Sind $\sum_{n=0}^\infty a_n$ und $\sum_{n=0}^\infty b_n$ zwei absolut konvergente Reihen, dann ist die Reihe

$\sum_{n=0}^\infty c_n$ mit $c_n = \sum_{k=0}^n {a_{k} b_{n-k}}$

ebenfalls eine absolut konvergente Reihe und es gilt

$\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = \sum_{n=0}^\infty c_n.$

Die Reihe $\sum_{n=0}^\infty c_n$ wird Cauchy-Produkt der Reihen $\sum_{n=0}^\infty a_n$ und $\sum_{n=0}^\infty b_n$ genannt.

Schreibt man diese Formel aus, so erhält man:

$\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = (a_0 b_0) + (a_0 b_1 + a_1 b_0) + (a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0) + ... + (a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + ... + a_k b_{n-k} + ... + a_n b_0) + ...$

Bricht man diese Reihe bei einem gewissen Wert von n ab, so erhält man eine Näherung für das gesuchte Produkt.

Speziell für die Multiplikation von Potenzreihen gilt

$\left(\sum_{n=0}^\infty \alpha_n {(x-x_0)}^n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty \beta_n {(x-x_0)}^n\right) = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n {\alpha_{k} \beta_{n-k}}\right)(x-x_0)^n.$

Beispiel

Es soll das Cauchy-Produkt

$\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\right)$

einer nur bedingt konvergenten Reihe mit sich selbst gebildet werden.

Hier gilt

$c_n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} \cdot \frac{(-1)^{n-k}}{\sqrt{n-k+1}} = (-1)^n \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}\ .$

Mit der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel $\sqrt{ab} \leq \tfrac{1}{2}(a+b)$ angewendet auf die Wurzel im Nenner folgt

$|c_n| \geq \sum_{k=0}^n \frac{2}{n+2} = \frac{2(n+1)}{n+2} \geq 1\ .$

Da die c_n somit keine Nullfolge bilden, divergiert die Reihe $\sum_{n=0}^\infty c_n.$

Zahlenbeispiel

1/81 = 1/9 * 1/9 = 0,11111... * 0,11111... = 0,0 (1) * (1+1) * (1+1+1) * (1+1+1+1) * (1+1+1+1+1)...

0,11111... * 0,11111...

    0
     011111...
      011111...
       011111...
        011111...

   0,012345...
    = 0,0123456789(10)(11)(12)(13)...

1/81 liefert als Ergebnis somit alle fortlaufenden Zahlen. Diese ungewöhnliche Darstellung ist im Dezimalsystem allerdings so nicht darstellbar, da es nur 10 Ziffern (0-9) umfasst. Die (10) vergrößert die vorstehende 9 zu einer 10, sodass die 8 zu einer 9 aufgerundet wird.

Verallgemeinerungen

Nach dem Satz von Mertens ist es schon ausreichend zu fordern, dass mindestens eine der beiden konvergenten Reihen absolut konvergiert, damit ihr Cauchy-Produkt konvergiert (nicht notwendigerweise absolut) und sein Wert das Produkt der gegebenen Reihewerte ist.

Konvergieren beide Reihen nur bedingt, so kann es sein, dass ihr Cauchy-Produkt nicht konvergiert, wie obiges Beispiel zeigt. Wenn in diesem Fall jedoch das Cauchy-Produkt konvergiert, dann stimmt sein Wert nach einem Satz von Abel mit dem Produkt der beiden Reihenwerte überein.

Literatur

• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4