Cauchy-Produktformel

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Die Cauchy-Produktformel, auch Cauchy-Produkt oder Cauchy-Faltung, benannt nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy gestattet die Multiplikation unendlicher Reihen. Dabei handelt es sich um eine diskrete Faltung.

Definition[Bearbeiten]

Sind \sum_{n=0}^\infty a_n und \sum_{n=0}^\infty b_n zwei absolut konvergente Reihen, dann ist die Reihe

\sum_{n=0}^\infty c_n mit c_n = \sum_{k=0}^n {a_{k} b_{n-k}}=\sum_{i+j=n}a_i b_j

ebenfalls eine absolut konvergente Reihe und es gilt

\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = \sum_{n=0}^\infty c_n.

Die Reihe \sum_{n=0}^\infty c_n wird Cauchy-Produkt der Reihen \sum_{n=0}^\infty a_n und \sum_{n=0}^\infty b_n genannt.

Schreibt man diese Formel aus, so erhält man:

\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = \underbrace{(a_0 b_0)}_{c_0} + \underbrace{(a_0 b_1 + a_1 b_0)}_{c_1} + \underbrace{(a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0)}_{c_2} + ... + \underbrace{(a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + ... + a_k b_{n-k} + ... + a_n b_0)}_{c_n} + ...

Bricht man diese Reihe bei einem gewissen Wert von n ab, so erhält man eine Näherung für das gesuchte Produkt.

Speziell für die Multiplikation von Potenzreihen gilt

\left(\sum_{n=0}^\infty \alpha_n {(x-x_0)}^n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty \beta_n {(x-x_0)}^n\right) = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n {\alpha_{k} \beta_{n-k}}\right)(x-x_0)^n.

Beispiele[Bearbeiten]

Anwendung auf die Exponentialfunktion[Bearbeiten]

Als Anwendungsbeispiel soll gezeigt werden, wie sich die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion aus der Cauchy-Produktformel herleiten lässt. Die Exponentialfunktion \textstyle e^x = \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!} konvergiert bekanntlich absolut. Daher kann man das Produkt e^xe^y mittels des Cauchy-Produktes berechnen und erhält

e^xe^y = \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!}\cdot \sum_{n = 0}^\infty \frac{y^n}{n!} = \sum_{n = 0}^\infty \sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\frac{1}{(n-k)!}x^ky^{n-k}

Nach Definition des Binomialkoeffizienten \textstyle {n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} kann man das weiter umformen als

 = \sum_{n = 0}^\infty  \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}x^ky^{n-k} = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^ky^{n-k} = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!}(x+y)^n = e^{x+y}

wobei das vorletzte Gleichheitszeichen durch den binomischen Lehrsatz gerechtfertigt ist.

Eine divergente Reihe[Bearbeiten]

Es soll das Cauchy-Produkt

\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\right)

einer nur bedingt konvergenten Reihe mit sich selbst gebildet werden.

Hier gilt

c_n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} \cdot \frac{(-1)^{n-k}}{\sqrt{n-k+1}} = (-1)^n \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}\ .

Mit der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel \sqrt{ab} \leq \tfrac{1}{2}(a+b) angewendet auf die Wurzel im Nenner folgt

|c_n| \geq \sum_{k=0}^n \frac{2}{n+2} = \frac{2(n+1)}{n+2} \geq 1\ .

Da die c_n somit keine Nullfolge bilden, divergiert die Reihe \sum_{n=0}^\infty c_n.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Nach dem Satz von Mertens ist es schon ausreichend zu fordern, dass mindestens eine der beiden konvergenten Reihen absolut konvergiert, damit ihr Cauchy-Produkt konvergiert (nicht notwendigerweise absolut) und sein Wert das Produkt der gegebenen Reihenwerte ist.

Konvergieren beide Reihen nur bedingt, so kann es sein, dass ihr Cauchy-Produkt nicht konvergiert, wie obiges Beispiel zeigt. Wenn in diesem Fall jedoch das Cauchy-Produkt konvergiert, dann stimmt sein Wert nach einem Satz von Abel mit dem Produkt der beiden Reihenwerte überein.

Literatur[Bearbeiten]