Cauchysches Verdichtungskriterium

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Das Cauchysche Verdichtungskriterium, auch bekannt als Cauchyscher Verdichtungssatz, Verdichtungsprinzip, Verdünnungssatz oder Kondensationskriterium (nach Augustin Louis Cauchy), ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also ein Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe konvergent oder divergent ist.

Formulierung[Bearbeiten]

Sei (a_n)_{n \in \N} eine monoton fallende Folge nicht-negativer reeller Zahlen. Dann hat die unendliche Reihe

S = \sum_{n=1}^\infty a_n

das gleiche Konvergenzverhalten wie die verdichtete Reihe

T = \sum_{k=0}^\infty 2^ka_{2^k},

das heißt, dass die eine Reihe genau dann konvergiert, wenn die andere konvergiert.

Beweisskizze[Bearbeiten]

Die Wirkungsweise dieses Kriteriums kann als Betrachtung von Ober- und Untersummen der zu untersuchenden Reihe gedacht werden. Die Folge (a_n)_{n\in\N} wird in Blöcke aufsteigender Länge aufgeteilt und in jedem Block gegen Maximum und Minimum abgeschätzt. Da die Folge (a_n)_{n\in\N} als monoton fallend vorausgesetzt wurde, ist das Maximum mit dem ersten und das Minimum mit dem letzten Folgenglied eines jeden Blockes identisch.

Das Kriterium ergibt sich nun aus dem Majorantenkriterium. Die gängigste Blockaufteilung ist die nach Zweierpotenzen mit Blöcken a_{2^k}, a_{2^k+1},\dots,a_{2^{k+1}-1}. Um Konvergenz nachzuweisen, konstruiert man die Majorante (b_n)_{n\in\N} durch

b_{2^k+m}:=a_{2^k}\ge a_{2^k+m} für 0 \leq m \leq 2^k.

Zu jedem Index k enthält die Majorante 2^k Glieder mit demselben Wert a_{2^k}, die Majorante konvergiert also genau dann, wenn \textstyle T = \sum_{k=0}^\infty 2^ka_{2^k} konvergiert.

Um Divergenz nachzuweisen, konstruiert man die Minorante (b_n)_{n\in\N} durch

b_{2^k+m}:=a_{2^{k+1}}\le a_{2^{k+1}-1}\le  a_{2^k+m} für 0\leq m < 2^k.

Zu jedem Index k enthält die Minorante 2^k Glieder mit demselben Wert a_{2^{k+1}}, die Minorante divergiert also genau dann, wenn \textstyle \frac12(T-a_1) = \sum_{k=0}^\infty 2^ka_{2^{k+1}} divergiert.

Anwendungsbeispiel[Bearbeiten]

Eine Anwendung liegt bei den allgemeinen harmonischen Reihen. Für ein festes \alpha>0 hat

S = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^\alpha}

das gleiche Konvergenzverhalten wie

T = \sum_{k=0}^\infty 2^k\frac1{(2^k)^\alpha}=\sum_{k=0}^\infty (2^{1-\alpha})^k.

T ist offensichtlich eine geometrische Reihe mit Faktor q=2^{1-\alpha}. Aus deren Konvergenzverhalten folgt, dass für \alpha>1 Konvergenz, sonst Divergenz, vorliegt. Man beachte den Wechsel des Startwertes und des Indexes der Reihe von n=1 auf k=0.

Analog ergibt sich für die noch langsamer konvergierenden bzw. divergierenden Reihen


  \sum_{n=2}^\infty\frac1{n\cdot \ln(n)^\alpha},\quad
  \sum_{n=\lceil e \rceil}^\infty\frac1{n\cdot \ln(n)\cdot \ln(\ln(n))^\alpha},\quad
  \sum_{n=\lceil e^e \rceil}^\infty \frac1{n\cdot \ln(n)\cdot \ln(\ln(n))\cdot \ln(\ln(\ln(n)))^\alpha}
\;\cdots

für \alpha>1 Konvergenz, sonst Divergenz.

Quellen[Bearbeiten]