Cesàro-Mittel

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Als Cesàro-Mittel, Cesàro-Durchschnitt oder auch Cesàro-Summe wird das zu einer gegebenen Zahlenfolge aus den ersten n Folgengliedern gebildete arithmetische Mittel bezeichnet. Diese Begriffsbildung geht auf den italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro zurück.

Definitionen[Bearbeiten]

Zu einer Zahlenfolge (a_n)_{n\in\mathbb{N}} wird durch c_n:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i die Folge (c_n)_{n\in\mathbb{N}} definiert und als Folge von Cesàro-Mitteln bezeichnet.


Falls die Folge (c_n)_{n\in\mathbb{N}} konvergiert, so wird die Ausgangsfolge (a_n)_{n\in\mathbb{N}} als Cesàro-summierbar oder C_1 -summierbar bezeichnet.

Folgerungen[Bearbeiten]

Konvergiert die Folge (a_n)_{n\in\mathbb{N}} gegen einen Wert a, so konvergiert nach dem Cauchyschen Grenzwertsatz auch die Folge der Cesàro-Mittel (c_n)_{n\in\mathbb{N}} gegen a.

Aus der Konvergenz einer Folge folgt ihre Cesàro-Summierbarkeit.

Allerdings kann eine Folge Cesàro-summierbar sein, ohne selbst zu konvergieren.

Beispiel[Bearbeiten]

Die Folge (a_n)_{n\in\mathbb{N}} sei durch  a_n:=(-1)^n definiert. Diese Folge ist offensichtlich divergent. Die Folge ihrer Cesàro-Mittel (c_n)_{n\in\mathbb{N}} mit c_n=\frac{1}{n}\sum_{m=1}^n (-1)^m konvergiert gegen 0. Die Folge (a_n)_{n\in\mathbb{N}} ist somit Cesàro-summierbar.

Anwendung[Bearbeiten]

Die Cesàro-Summierbarkeit ist insbesondere in der Theorie der Fourier-Reihen von Bedeutung.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]