Charakteristische Funktion (Mathematik)

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zweidimensionale Indikatorfunktion einer Untermenge eines Quadrates

Die charakteristische Funktion (auch Indikatorfunktion genannt) einer Teilmenge T\subseteq X bezeichnet in der Mathematik diejenige Funktion von X nach \{0, 1\}, die für x \in X genau dann 1 ist, wenn x Element von T ist, und ansonsten 0\colon

\chi_T\colon X\to \{0,1\},\; x\mapsto 
\begin{cases}
  1, & \text{falls } x \in T,\\
  0, & \text{sonst}.
\end{cases}

Die Schreibweisen \xi_T und \mathrm{1}_T sind ebenfalls gebräuchlich.[1]

Die Zuordnung \mathcal P(X) \to 2^X,\, T\mapsto \mathrm \chi_T, liefert eine Bijektion zwischen der Potenzmenge \mathcal P(X) und der Menge aller Funktionen von X in die Menge \{0, 1\}.

Bei der Bildung der partiellen charakteristischen Funktion wird die Definitionsmenge auf T eingeschränkt; im Sinne von partiellen Funktionen kann man sie also wie folgt beschreiben:


\chi_T'\colon X \rightsquigarrow \{0,1\},\; x\mapsto 
\begin{cases}
  1, & \text{falls } x \in T,\\
  \text{undefiniert}, & \text{sonst}.
\end{cases}

Erwartungswert, Varianz und Kovarianz[Bearbeiten]

Für einen gegebenen Wahrscheinlichkeitsraum \textstyle (\Omega, \mathcal F, \mathrm P) und A \in \mathcal F ist die Indikatorfunktion \chi_A\colon \Omega \rightarrow \Bbb{R}, welche definiert ist durch \chi_A (\omega) = 1, wenn  \omega \in A, und ansonsten ist \chi_A (\omega) = 0, eine Zufallsvariable. Für sie gilt:

Erwartungswert: \operatorname{E}(\chi_A) = \operatorname{P}(A)
Varianz: \operatorname{Var}(\chi_A) = \operatorname{P}(A)(1 - \operatorname{P}(A))^2 + (1 - \operatorname{P}(A))(0 - \operatorname{P}(A))^2 = \operatorname{P}(A)(1 - \operatorname{P}(A))
Kovarianz: \operatorname{Cov}(\chi_A, \chi_B) = \operatorname{P}(A \cap B) - \operatorname{P}(A)\operatorname{P}(B)

Man sieht: Die Varianz von \chi_A ist maximal im Fall P(A) = \tfrac{1}{2} und zwei Indikatorvariablen sind genau dann unkorreliert, wenn die zugehörigen Ereignisse stochastisch unabhängig sind.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. Die Bezeichnung \mathrm{1}_T wird aber auch für die Identitätsrelation bzw. -abbildung verwendet und kann daher leicht zu Verwechselungen führen.