Charakteristische Funktion (Mathematik)

zweidimensionale Indikatorfunktion einer Untermenge eines Quadrates

Die charakteristische Funktion (auch Indikatorfunktion genannt) einer Teilmenge $T\subseteq X$ bezeichnet in der Mathematik diejenige Funktion von X auf {0,1}, die für $x \in X$ genau dann 1 ist, wenn x Element von T ist, und ansonsten 0:

$\chi_T\colon X\to \{0,1\},\ x\mapsto \begin{cases} 1, & \text{falls } x \in T \\ 0, & \text{sonst} \end{cases}$

Die Schreibweisen $\mathbf{1}_T$ und $\mathbf{I}\{T\}$ sind ebenfalls gebräuchlich.

Die Zuordnung $T\mapsto \mathrm \chi_T$ liefert eine Bijektion zwischen der Potenzmenge $\mathcal P(X)$ und der Menge aller Funktionen von X in die Menge {0,1}.

Bei der Bildung der partiellen charakteristischen Funktion wird die Definitionsmenge auf T eingeschränkt; im Sinne von partiellen Funktionen kann man sie also wie folgt beschreiben:

$\chi_T'\colon X\rightsquigarrow \{0,1\},\ x\mapsto \begin{cases} 1, & \text{falls } x \in T \\ \text{undefiniert}, & \text{sonst} \end{cases}$

Erwartungswert, Varianz und Kovarianz

Für einen gegebenen Wahrscheinlichkeitsraum $\textstyle (\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$ und $A \in \mathcal F$ ist die Indikatorfunktion $\mathbf{1}_A : \Omega \rightarrow \Bbb{R}$, welche definiert ist durch $\mathbf{1}_A (\omega) = 1$, wenn $\omega \in A$ und ansonsten ist $\mathbf{1}_A (\omega) = 0$, eine Zufallsvariable. Für sie gilt:

Erwartungswert: $\operatorname{E}(\mathbf{1}_A (\omega)) = \operatorname{P}(A)$

Varianz: $\operatorname{Var}(\mathbf{1}_A (\omega)) = \operatorname{P}(A)(1-\operatorname{P}(A))^2+(1-\operatorname{P}(A))(0-\operatorname{P}(A))^2 = \operatorname{P}(A)(1 - \operatorname{P}(A))$

Kovarianz: $\operatorname{Cov}(\mathbf{1}_A (\omega), \mathbf{1}_B (\omega)) = \operatorname{P}(A \cap B) - \operatorname{P}(A)\operatorname{P}(B)$

Siehe auch

• Prädikatabbildung
• Diracmaß

Literatur

• A. A. Konyushkov: Characteristic function of a set. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8.