Charakteristische Funktion (Stochastik)

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In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die charakteristische Funktion \varphi_X\colon\R\to\C einer reellwertigen Zufallsvariablen X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega,\Sigma,P) für t \in \R folgendermaßen definiert:

\varphi_{X}(t):=\operatorname{E}\left(e^{\mathrm{i}tX}\right)=\int_{\Omega}e^{\mathrm{i}tX}\,\mathrm{d}P\,.

Dabei bezeichnet \operatorname{E} den Erwartungswert. Wegen \left|e^{\mathrm{i}tx} \right| = 1 existiert das Integral für beliebige Zufallsvariablen.

Beschreibung[Bearbeiten]

Die charakteristische Funktion ist im Wesentlichen die inverse Fourier-Transformierte der Verteilung von X. Weiterhin ist \varphi_X\left(-\mathrm{i}t\right) die momenterzeugende Funktion von X.

Ist X eine reelle Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion F, dann gilt

 \varphi_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{\mathrm{i}tx} \mathrm{d}F(x).

Daraus ergeben sich die beiden folgenden wichtigen Spezialfälle:

  • Ist die Verteilungsfunktion F absolut stetig mit der Dichtefunktion f, dann ist
 \varphi_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\, e^{\mathrm{i}tx}\,\mathrm{d}x\,.
  • Ist F diskret mit Sprungpunkten in \{x_1, x_2, \dotsc\}, dann gilt
 \varphi_X(t) = \sum_{k=1}^{\infty} e^{\mathrm{i}tx_k}P(X=x_{k})\,.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Für eine charakteristische Funktion \varphi_X gilt für jede reelle Zahl t\in\R:

Gleichmäßige Stetigkeit[Bearbeiten]

\varphi_X ist eine gleichmäßig stetige Funktion.

Beschränktheit[Bearbeiten]

|\varphi_X(t)|\leq\varphi_X(0)=1\,.

Symmetrie[Bearbeiten]

\varphi_X ist hermitesch, das heißt es gilt \varphi_X(-t) = \overline{\varphi_X(t)}.
\varphi_X ist genau dann reellwertig, wenn X symmetrisch verteilt ist, das heißt X und -X haben die gleiche Verteilung.

Lineare Transformation[Bearbeiten]

\varphi_{aX+b}(t)=e^{\mathrm{i}tb}\varphi_X(at)   für alle reellen a,b\in\R\,.

Umkehrbarkeit[Bearbeiten]

Ist \varphi_X integrierbar, dann besitzt X die Wahrscheinlichkeitsdichte

f_{X}(x) = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-\mathrm{i}tx}\varphi_{X}(t)\,\mathrm{d}t\,.

Momenterzeugung[Bearbeiten]

\operatorname{E}(X^k)=\frac{\varphi_X^{(k)}(0)}{\mathrm{i}^{k}}   für alle natürlichen k\in\N, falls \operatorname{E}(|X|^k)<\infty.

Insbesondere ergeben sich die Spezialfälle

\operatorname{E}(X)=\frac{\varphi_X'(0)}{\mathrm i}\,,
\operatorname{E}(X^2)=-\varphi_X''(0)\,.

Wenn für eine natürliche Zahl n\in\N der Erwartungswert \operatorname{E}(|X|^n) endlich ist, dann ist \varphi_X n-mal stetig differenzierbar und in eine Taylor-Reihe um 0 entwickelbar:

\varphi_X(t) = \sum\limits_{k=0}^n\frac{\varphi_X^{(k)}(0)}{k!}t^k+R_{n+1}(t) = \sum\limits_{k=0}^n\frac{(\mathrm{i}t)^k}{k!}\operatorname{E}(X^k)+R_{n+1}(t)\,.

Ein wichtiger Spezialfall ist die Entwicklung einer Zufallsvariablen X mit \operatorname{E}(X)=0 und \operatorname{Var}(X)=1:

\varphi_X(t) = 1-\frac{1}{2}t^2+R_3(t)   mit   \lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{R_3(t)}{t^2}=0\,.

Definitheit[Bearbeiten]

Jede charakteristische Funktion \varphi ist positiv semidefinit, das heißt es ist für beliebige reelle Zahlen t_1,t_2, \dotsc, t_n und beliebige komplexe Zahlen z_1,z_2,\ldots,z_n

 \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \varphi(t_i-t_k) \; z_i \; \bar{z_k} \ge 0.

Umgekehrt ist jede positiv semidefinite und gleichmäßig stetige Funktion \varphi\colon\R\to\C mit \varphi(0)=1 eine charakteristische Funktion (Satz von Bochner).

Faltungsformel für Dichten[Bearbeiten]

Bei unabhängigen Zufallsvariablen X_1 und X_2 gilt für die charakteristische Funktion der Summe Y=X_1+X_2

\varphi_{Y}(t)=\varphi_{X_{1}}(t)\,\varphi_{X_{2}}(t)\,,

denn wegen der Unabhängigkeit gilt

\varphi_{Y}(t) = \operatorname{E}\left(e^{\mathrm{i}t(X_1 + X_2)}\right) = \operatorname{E}\left(e^{\mathrm{i}tX_1} e^{\mathrm{i}tX_2}\right) = \operatorname{E}\left(e^{\mathrm{i}tX_1}\right) \operatorname{E}\left(e^{\mathrm{i}tX_2}\right) = \varphi_{X_{1}}(t)\,\varphi_{X_{2}}(t)\,.

Eindeutigkeitssatz[Bearbeiten]

Es gilt der folgende Eindeutigkeitssatz: Wenn X, Y Zufallsvariablen sind und \varphi_X(t)=\varphi_Y(t) für alle t\in\R gilt, dann ist X\overset{d}{=}Y, d. h. X und Y haben die gleiche Verteilungsfunktion. Folglich kann damit die Faltung einiger Verteilungen leicht bestimmt werden.

Aus dem Eindeutigkeitssatz lässt sich der Stetigkeitssatz von Lévy-Cramér folgern: Wenn (X_n)_{n\in\N} eine Folge von Zufallsvariablen ist, dann gilt X_n\stackrel{d}{\rightarrow}X (Konvergenz in Verteilung) genau dann, wenn \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\varphi_{X_n}(t)=\varphi_X(t) für alle t\in\R gilt. Diese Eigenschaft kann bei zentralen Grenzwertsätzen ausgenutzt werden.

Beispiele[Bearbeiten]

diskrete Verteilungen:

absolutstetige Verteilungen:

Literatur[Bearbeiten]

  • Eugen Lukacs: Characteristic functions. Griffin, London 1960 (2., erweiterte Auflage 1970), ISBN 0-85264-170-2