Charakteristische Funktion (Stochastik)

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In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die charakteristische Funktion \varphi_X\colon\R\to\C einer reellwertigen Zufallsvariablen X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega,\Sigma,P) für t \in \R folgendermaßen definiert:

\varphi_{X}(t):=\operatorname{E}\left(e^{\mathrm{i}tX}\right)=\int_{\Omega}e^{\mathrm{i}tX}\,\mathrm{d}P\,.

Dabei bezeichnet \operatorname{E} den Erwartungswert. Wegen \left|e^{\mathrm{i}tx} \right| = 1 existiert das Integral für beliebige Zufallsvariablen.

Beschreibung[Bearbeiten]

Die charakteristische Funktion einer Zufallsvariablen, die auf (–1,1) stetig gleichverteilt ist. Im Allgemeinen sind charakteristische Funktionen jedoch nicht reell-wertig.

Die charakteristische Funktion ist im Wesentlichen die inverse Fourier-Transformierte der Verteilung von X. Weiterhin ist \varphi_X\left(-\mathrm{i}t\right) die momenterzeugende Funktion von X.

Ist X eine reelle Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion F, dann gilt

 \varphi_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{\mathrm{i}tx} \mathrm{d}F(x).

Daraus ergeben sich die beiden folgenden wichtigen Spezialfälle:

  • Ist die Verteilungsfunktion F absolut stetig mit der Dichtefunktion f, dann ist
 \varphi_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\, e^{\mathrm{i}tx}\,\mathrm{d}x\,.
  • Ist F diskret mit Sprungpunkten in \{x_1, x_2, \dotsc\}, dann gilt
 \varphi_X(t) = \sum_{k=1}^{\infty} e^{\mathrm{i}tx_k}P(X=x_{k})\,.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Für eine charakteristische Funktion \varphi_X gilt für jede reelle Zahl t\in\R:

Gleichmäßige Stetigkeit[Bearbeiten]

\varphi_X ist eine gleichmäßig stetige Funktion.

Beschränktheit[Bearbeiten]

|\varphi_X(t)|\leq\varphi_X(0)=1\,.

Symmetrie[Bearbeiten]

\varphi_X ist hermitesch, das heißt es gilt \varphi_X(-t) = \overline{\varphi_X(t)}.
\varphi_X ist genau dann reellwertig, wenn X symmetrisch verteilt ist, das heißt X und -X haben die gleiche Verteilung.

Lineare Transformation[Bearbeiten]

\varphi_{aX+b}(t)=e^{\mathrm{i}tb}\varphi_X(at)   für alle reellen a,b\in\R\,.

Umkehrbarkeit[Bearbeiten]

Ist \varphi_X integrierbar, dann lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichte von X rekonstruieren als

f_{X}(x) = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-\mathrm{i}tx}\varphi_{X}(t)\,\mathrm{d}t\,.

Momenterzeugung[Bearbeiten]

\operatorname{E}(X^k)=\frac{\varphi_X^{(k)}(0)}{\mathrm{i}^{k}}   für alle natürlichen k\in\N, falls \operatorname{E}(|X|^k)<\infty.

Insbesondere ergeben sich die Spezialfälle

\operatorname{E}(X)=\frac{\varphi_X'(0)}{\mathrm i}\,,
\operatorname{E}(X^2)=-\varphi_X''(0)\,.

Wenn für eine natürliche Zahl n\in\N der Erwartungswert \operatorname{E}(|X|^n) endlich ist, dann ist \varphi_X n-mal stetig differenzierbar und in eine Taylor-Reihe um 0 entwickelbar:

\varphi_X(t) = \sum\limits_{k=0}^n\frac{\varphi_X^{(k)}(0)}{k!}t^k+R_{n+1}(t) = \sum\limits_{k=0}^n\frac{(\mathrm{i}t)^k}{k!}\operatorname{E}(X^k)+R_{n+1}(t)\,.

Ein wichtiger Spezialfall ist die Entwicklung einer Zufallsvariablen X mit \operatorname{E}(X)=0 und \operatorname{Var}(X)=1:

\varphi_X(t) = 1-\frac{1}{2}t^2+R_3(t)   mit   \lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{R_3(t)}{t^2}=0\,.

Definitheit[Bearbeiten]

Jede charakteristische Funktion \varphi ist positiv semidefinit, das heißt es ist für beliebige reelle Zahlen t_1,t_2, \dotsc, t_n und beliebige komplexe Zahlen z_1,z_2,\ldots,z_n

 \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \varphi(t_i-t_k) \; z_i \; \bar{z_k} \ge 0.

Umgekehrt ist jede positiv semidefinite und gleichmäßig stetige Funktion \varphi\colon\R\to\C mit \varphi(0)=1 eine charakteristische Funktion (Satz von Bochner).

Faltungsformel für Dichten[Bearbeiten]

Bei unabhängigen Zufallsvariablen X_1 und X_2 gilt für die charakteristische Funktion der Summe Y=X_1+X_2

\varphi_{Y}(t)=\varphi_{X_{1}}(t)\,\varphi_{X_{2}}(t)\,,

denn wegen der Unabhängigkeit gilt

\varphi_{Y}(t) = \operatorname{E}\left(e^{\mathrm{i}t(X_1 + X_2)}\right) = \operatorname{E}\left(e^{\mathrm{i}tX_1} e^{\mathrm{i}tX_2}\right) = \operatorname{E}\left(e^{\mathrm{i}tX_1}\right) \operatorname{E}\left(e^{\mathrm{i}tX_2}\right) = \varphi_{X_{1}}(t)\,\varphi_{X_{2}}(t)\,.

Charakteristische Funktion von zufälligen Summen[Bearbeiten]

Sind  (X_i)_{i \in \mathbb{N}} unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen und  N eine  \mathbb{N}_0-wertige Zufallsvariable, die von allen  X_i unabhängig ist, so lässt sich die charakteristische Funktion der Zufallsvariable

 S:= \sum_{i=1}^N X_i

als Verkettung der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion  m_N(t) von  N und der charakteristischen Funktion von  X_1 darstellen:

 \varphi_{S}(t)=m_N(\varphi_{X_1}(t)) .

Eindeutigkeitssatz[Bearbeiten]

Es gilt der folgende Eindeutigkeitssatz: Wenn X, Y Zufallsvariablen sind und \varphi_X(t)=\varphi_Y(t) für alle t\in\R gilt, dann ist X\overset{d}{=}Y, d. h. X und Y haben die gleiche Verteilungsfunktion. Folglich kann damit die Faltung einiger Verteilungen leicht bestimmt werden.

Aus dem Eindeutigkeitssatz lässt sich der Stetigkeitssatz von Lévy-Cramér folgern: Wenn (X_n)_{n\in\N} eine Folge von Zufallsvariablen ist, dann gilt X_n\stackrel{d}{\rightarrow}X (Konvergenz in Verteilung) genau dann, wenn \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\varphi_{X_n}(t)=\varphi_X(t) für alle t\in\R gilt. Diese Eigenschaft kann bei zentralen Grenzwertsätzen ausgenutzt werden.

Beispiele[Bearbeiten]

Verteilung Charakteristische Funktion  \varphi_X(t)
Diskrete Verteilungen
Binomialverteilung X\sim B(n,p) \varphi_X(t)=\left(pe^{\mathrm{i}t}+1-p\right)^n
Poisson-Verteilung X\sim P(\lambda) \varphi_X(t)=e^{\lambda\left(e^{\mathrm{i}t}-1\right)}
Negative_Binomialverteilung X\sim NB(r,p) \varphi_X(t)= \left(\frac{1-pe^{\mathrm{i}t}}{1-p}\right)^{-r}
Absolutstetige Verteilungen
X\sim N(0,1) standardnormalverteilt \varphi_X(t)=e^{-\frac{t^2}{2}}
X\sim N(\mu,\sigma^2) normalverteilt \varphi_X(t)=e^{\mathrm{i}t\mu}e^{-\frac{\sigma^2t^2}{2}}
X\sim U(a,b) gleichverteilt \varphi_X(t)= \frac{e^{\mathrm{i}bt}-e^{\mathrm{i}at}}{\mathrm{i}(b-a)t}
X\sim \;C(0,1) Standard-Cauchy-verteilt \varphi_X(t)=e^{-|t|}
X\sim \;G(p,b) gammaverteilt \varphi_X(t)=\left(\frac{b}{b-\mathrm{i}t}\right)^p

Verallgemeinerung auf mehrdimensionale Zufallsvariablen[Bearbeiten]

Die charakteristische Funktion lässt sich auf \ell-dimensionale reelle Zufallsvektoren \mathbf{X} = (X_1, \dotsc , X_\ell) wie folgt erweitern:

\varphi_{\mathbf{X}}(t)= \varphi_{\mathbf{X}}(t_1, \dots, t_l)=\operatorname{E}(e^{ i \langle t,\mathbf{X}\rangle})=\operatorname{E}\left( \prod_{j=1}^\ell e^{it_jX_j}\right),

wobei \langle t,\mathbf{X}\rangle = \sum\limits_{j=1}^{\ell} t_j X_j das Standardskalarprodukt bezeichnet.

Beziehung zu anderen erzeugenden Funktionen[Bearbeiten]

Außer den charakteristischen Funktionen spielen noch die wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen und die momenterzeugenden Funktionen eine wichtige Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion einer  \mathbb{N}_0 -wertigen Zufallsvariable  X ist definiert als  m_X(t)=\operatorname{E}(t^X) . Demnach gilt der Zusammenhang  m_X(e^{it})=\varphi_X(t) .

Die momenterzeugen Funktion einer Zufallsvariable ist definiert als  M_X(t):=\operatorname{E}(e^{tX}) . Demnach gilt der Zusammenhang  M_{iX}(t)=M_X(it)=\varphi_X(t) , wenn die momenterzeugende Funktion existiert. Im Gegensatz zur charakteristischen Funktion ist dies nicht immer der Fall.

Außerdem gibt es noch die kumulantenerzeugende Funktion als logarithmus der momenterzeugenden Funktion. Aus ihr wird der Begriff der Kumulante abgeleitet.

Literatur[Bearbeiten]

  • Eugen Lukacs: Characteristic functions. Griffin, London 1960 (2., erweiterte Auflage 1970), ISBN 0-85264-170-2
  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8