Charaktertafel

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Eine Charaktertafel enthält Informationen über die irreduziblen Darstellungen einer endlichen Gruppe. In der Chemie kann man mit ihrer Hilfe Aussagen über Eigenschaften von Molekülen basierend auf der zugehörigen Punktgruppe machen.

Die eigentliche Charaktertafel einer Gruppe G ist eine quadratische Tabelle mit komplexen Zahlen als Einträgen. Die Zeilen entsprechen den irreduziblen Darstellungen von G, die Spalten den Konjugationsklassen in G. Der Tabelleneintrag zur Darstellung \rho und Konjugationsklasse C ist der Wert des zu \rho gehörenden Charakters, ausgewertet auf einem beliebigen Element von C.

Anwendung in der Chemie[Bearbeiten]

Schließt man nun aus den Symmetrieelementen oder unter Zuhilfenahme des Schoenflies-Schemas auf die Punktgruppe eines Moleküls, kann man mit Hilfe der Charaktertafel auf bestimmte Eigenschaften des Stoffes schließen.

Beispiel[Bearbeiten]

  • Charaktertafel der C_{2v}-Punktgruppe
C_{2v}  E C_2 \sigma_v(xz) \sigma_v'(yz)
A_1 1 1 1 1 z x^2,y^2,z^2
A_2 1 1 -1 -1 R_z xy
B_1 1 -1 1 -1 x, R_y xz
B_2 1 -1 -1 1 y, R_x yz

Die erste Bezeichnung ist die Punktgruppe, in der ersten Zeile stehen die Symmetrieelemente R, die in ihr enthalten sind. Kommt ein Symmetrieelement n-mal vor, dann schreibt man n R. Die n R Symmetrieelemente bilden eine Klasse mit der Ordnung n. Die Anzahl der Symmetrieelemente ist die Ordnung der Gruppe h. In der ersten Spalte stehen die irreduziblen Darstellungen \Gamma_i. In den folgenden Spalten stehen die Charakter \chi^R (hier: -1 und +1). In den letzten beiden Spalten stehen die Basen der irreduziblen Darstellungen, bzw. Orbitale die sich wie eine irreduzible Darstellung transformieren. Man sagt z. B. die Drehung um die z-Achse R_z transformiert wie A_2.

Rotationen und Schwingungen[Bearbeiten]

  • Die Angaben R_x , R_y und R_z beziehen sich auf Molekülrotationen in x-, y- und z-Richtung, die wie die irreduziblen Darstellungen transformieren. z. B. transformiert bei einem Molekül der Punktgruppe C_{2v} die Rotation um die z-Achse R_z wie A_2.

Die Eigenschwingungen des Moleküls transformieren ebenfalls wie eine der irreduziblen Darstellungen der Punktgruppe des Moleküls.

Orbitale[Bearbeiten]

Die Symmetrie der Basis-Orbitale eines Moleküls lassen sich ebenfalls einer irreduziblen Darstellung der Punktgruppe zuordnen. Hat ein Charakter bei einer bestimmten Darstellung und einem bestimmten Symmetrieelement z. B. den Charakter „+1“, dann ändert sich das Vorzeichen der Wellenfunktion bei Anwendung dieses Symmetrieelements nicht. Ist er „-1“ dann ändert es sich.

Beispiel[Bearbeiten]

Ein Molekül gehöre zur Punktgruppe C_{2v} (siehe Charaktertafel oben). Zu seinem Basissatz gehöre das p_x-Orbital, das auf der x-Achse liegt und wie B_1 transformiert. Spiegelung an der xz-Spiegelebene bewirkt keine Änderung des Orbitals, es wird auf sich selbst abgebildet, der Charakter ist „+1“. Spiegelt man das x-Orbital dagegen an der yz-Ebene, ändert sich das Vorzeichen der Wellenfunktion, der Charakter ist also „-1“, wie aus der Charaktertafel erkennbar.

Reduzible und irreduzible Darstellungen, ausreduzieren[Bearbeiten]

Eine irreduzible Darstellung \Gamma_{red} besitzt nur {0} und L als invariante Unterräume. Alle anderen Unterräume mixen. Eine reduzible Darstellung zerfällt in verschiedene Unterräume.

Wenn eine Darstellung \rho vollständig reduzibel ist, kann sie als direkte Summe von irreduziblen Darstellungen betrachtet werden. Nicht jede reduzible Darstellung ist vollständig reduzibel.

Bei vollständig reduziblen Darstellungen können die Anteile a_i der irreduziblen Darstellungen in einer reduziblen Darstellung durch Raten oder folgende Formel ermittelt werden:

a_i = {1 \over h} \sum_{R} n\chi^R \chi_i^R

h ist die Ordnung der Gruppe, n die Ordnung der Klasse, \chi_i^R der Charakter der jeweiligen irreduziblen Darstellung \Gamma_i und \chi^R der Charakter der reduziblen Darstellung \Gamma_{red}.

\Gamma_{red} = \sum_{R} a_i \Gamma_i

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • J. H. Conway: Atlas of Finite Groups, Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups. Clarendon Press, Oxford 1985, ISBN 0-198-53199-0.