Chi-Quadrat-Test

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Mit Chi-Quadrat-Test (\chi^2-Test) bezeichnet man in der mathematischen Statistik eine Gruppe von Hypothesentests mit \chi^2-verteilter Testprüfgröße.

Man unterscheidet vor allem die folgenden Tests:

Verteilungstest oder Anpassungstest
Hier wird geprüft, ob vorliegende Daten auf eine bestimmte Weise verteilt sind.
Unabhängigkeitstest
Hier wird geprüft, ob zwei Merkmale stochastisch unabhängig sind.
Homogenitätstest
Hier wird geprüft, ob zwei oder mehr Stichproben derselben Verteilung bzw. einer homogenen Grundgesamtheit entstammen.

Der Chi-Quadrat-Test und seine Teststatistik wurden erstmals von Karl Pearson beschrieben.[1]

Verteilungstest[Bearbeiten]

Man betrachtet ein statistisches Merkmal X, dessen Wahrscheinlichkeiten in der Grundgesamtheit unbekannt sind. Es wird bezüglich der Wahrscheinlichkeiten von X eine vorläufig allgemein formulierte Nullhypothese

H_0\,: Das Merkmal X besitzt die Wahrscheinlichkeitsverteilung F_0(x)

aufgestellt.

Vorgehensweise[Bearbeiten]

Es liegen n unabhängige Beobachtungen x_1,\dots,x_n des Merkmals X vor, die in m verschiedene Kategorien fallen. Treten bei einem Merkmal sehr viele Ausprägungen auf, fasst man sie zweckmäßigerweise in m Klassen zusammen und fasst die Klassen als Kategorien auf. Die Zahl der Beobachtungen in der j-ten Kategorie ist die beobachtete Häufigkeit N_j.

Man überlegt sich nun, wie viele Beobachtungen im Mittel in einer Kategorie liegen müssten, wenn X tatsächlich die hypothetische Verteilung besäße. Dazu berechnet man zunächst die Wahrscheinlichkeit p_{0j}, dass eine Ausprägung von X in die Kategorie j fällt. Die unter H_0 zu erwartende absolute Häufigkeit ist:

n_{0j}=p_{0j}\cdot n

Wenn die in der vorliegenden Stichprobe beobachteten Häufigkeiten N_j „zu stark“ von den erwarteten Häufigkeiten abweichen, wird die Nullhypothese abgelehnt. Die Prüfgröße für den Test

 \chi ^2= \sum_{j=1}^m \frac{(N_j-n_{0j})^2}{n_{0j}}

misst die Größe der Abweichung.

Die Prüfgröße \chi^2 ist bei ausreichend großen N_j annähernd chi-Quadrat-verteilt mit m-1 Freiheitsgraden. Wenn die Nullhypothese wahr ist, sollte der Unterschied zwischen der beobachteten und der theoretisch erwarteten Häufigkeit klein sein. Also wird H_0 bei einem hohen Prüfgrößenwert abgelehnt. Der Ablehnungsbereich für H_0 liegt rechts.

Bei einem Signifikanzniveau \alpha wird H_0 abgelehnt, wenn \chi^2 > \chi^2_{(1-\alpha; m-1)} gilt, wenn also der aus der Stichprobe erhaltene Wert der Prüfgröße größer als das (1-\alpha)-Quantil der \chi^2-Verteilung mit m-1 Freiheitsgraden ist.

Es existieren Tabellen der \chi^2-Quantile („kritische Werte“) in Abhängigkeit von der Anzahl der Freiheitsgrade und vom gewünschten Signifikanzniveau (siehe unten).

Soll das Signifikanzniveau, das zu einem bestimmten \chi^2-Wert gehört, bestimmt werden, so muss in der Regel aus der Tabelle ein Zwischenwert berechnet werden. Dazu verwendet man logarithmische Interpolation.

Besonderheiten[Bearbeiten]

Schätzung von Verteilungsparametern[Bearbeiten]

Im Allgemeinen gibt man bei der Verteilungshypothese die Parameter der Verteilung an. Kann man diese nicht angeben, müssen sie aus der Stichprobe geschätzt werden. Hier geht bei der \chi^2-Verteilung pro geschätztem Parameter ein Freiheitsgrad verloren. Sie hat also m-w-1 Freiheitsgrade mit w als Zahl der geschätzten Parameter. Für die Normalverteilung wäre w=2, wenn der Erwartungswert \mu und die Varianz \sigma^2 abgeschätzt werden.

Mindestgröße der erwarteten Häufigkeiten[Bearbeiten]

Damit die Prüfgröße als annähernd \chi^2-verteilt betrachtet werden kann, muss jede erwartete Häufigkeit eine gewisse Mindestgröße betragen. Verschiedene Lehrwerke setzen diese bei 1 oder 5 an. Ist die erwartete Häufigkeit zu klein, können gegebenenfalls mehrere Klassen zusammengefasst werden, um die Mindestgröße zu erreichen.

Beispiel zu Anpassungstest[Bearbeiten]

Es liegen von ca. 200 börsennotierten Unternehmen die Umsätze vor. Das folgende Histogramm zeigt ihre Verteilung.

UmsatzHisto0.PNG

Es sei X der Umsatz eines Unternehmens [Mio. €].

Es soll nun die Hypothese getestet werden, dass X normalverteilt ist.

Da die Daten in vielen verschiedenen Ausprägungen vorliegen, wurden sie in Klassen eingeteilt. Es ergab sich die Tabelle:

Klasse Intervall Beobachtete Häufigkeit
j über bis nj
1 0 0
2 0 5000 148
3 5000 10000 17
4 10000 15000 5
5 15000 20000 8
6 20000 25000 4
7 25000 30000 3
8 30000 35000 3
9 35000 ... 9
Summe     197

Da keine Parameter vorgegeben werden, werden sie aus der Stichprobe ermittelt. Es sind geschätzt

 \hat \mu = \bar x = 6892

und

 \hat \sigma = s = 14984.

Es wird getestet:

H_0: X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert \mu = 6892 und der Varianz \sigma^2 = 14984^2.

Um die unter H_0 erwarteten Häufigkeiten zu bestimmen, werden zunächst die Wahrscheinlichkeiten berechnet, dass X in die vorgegebenen Klassen fällt. Man errechnet dann

p_{01}= P(X \le 0\vert H_0) = P\left(\left. \frac{X-\mu}{\sigma}\le -\frac{\mu}{\sigma} \right| H_0\right)= P(Z\le -\tfrac{6892}{14984})=\Phi\left(-0{,}46\right) = 0{,}3228.

Darin ist Z eine standardnormalverteilte Zufallsvariable und \Phi ihre Verteilungsfunktion. Analog errechnet man:

p_{02}= P(0 < X \le 5000\vert H_0) = P\left(\left. -\frac{\mu}{\sigma}<\frac{X-\mu}{\sigma}\le \frac{5000-\mu}{\sigma} \right| H_0\right)=
=P\left(-\tfrac{6892}{14984}<Z\le \tfrac{5000-6892}{14984} \right)=\Phi\left( -0{,}126\right) - \Phi\left(-0{,}46\right) = 0{,}1270

Daraus ergeben sich die erwarteten Häufigkeiten

 n_{01} =p_{01}\cdot n = 0{,}3228 \cdot 197 = 63{,}59
 n_{02} =p_{02}\cdot n = 0{,}1270 \cdot 197 = 25{,}02

Es müssten also beispielsweise ca. 25 Unternehmen im Mittel einen Umsatz zwischen 0 € und 5000 € haben, wenn das Merkmal Umsatz tatsächlich normalverteilt ist.

Die erwarteten Häufigkeiten sind zusammen mit den beobachteten Häufigkeiten in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Klasse Intervall Beobachtete Häufigkeit Wahrscheinlichkeit Erwartete Häufigkeit
j über bis nj p0j n0j
1 0 0 0,3228 63,59
2 0 5000 148 0,1270 25,02
3 5000 10000 17 0,1324 26,08
4 10000 15000 5 0,1236 24,35
5 15000 20000 8 0,1034 20,36
6 20000 25000 4 0,0774 15,25
7 25000 30000 3 0,0519 10,23
8 30000 35000 3 0,0312 6,14
9 35000 9 0,0303 5,98
Summe     197 1,0000 197,00

Die Prüfgröße wird jetzt folgendermaßen ermittelt:

 \chi^2 = \frac{(0- 63,59)^2}{63{,}59} + \frac{(148 - 25{,}02)^2}{25{,}02} + \dotsb +  \frac{(9 - 5{,}98)^2}{5{,}98} = 710{,}79 .

Bei einem Signifikanzniveau \alpha = 0{,}05 liegt der kritische Wert der Testprüfgröße bei \chi^2(0{,}95;9-3=6) = 12{,}59. Da \chi^2 > 12{,}59, wird die Nullhypothese abgelehnt. Man kann davon ausgehen, dass das Merkmal Umsatz in der Grundgesamtheit nicht normalverteilt ist.

Ergänzung[Bearbeiten]

Die obigen Daten wurden in der Folge logarithmiert. Aufgrund des Ergebnisses des Tests des Datensatzes der logarithmierten Daten auf Normalverteilung konnte auf einem Signifikanzniveau von 0,05 die Nullhypothese der Normalverteilung der Daten nicht verworfen werden. Unter der Voraussetzung, dass die logarithmierten Umsatzdaten tatsächlich einer Normalverteilung entstammen, sind die ursprünglichen Umsatzdaten logarithmisch normalverteilt.

Das folgende Histogramm zeigt die Verteilung der logarithmierten Daten.

LgUmsatzHisto0.PNG

Chi-Quadrat-Verteilungstest in der Rechtsprechung[Bearbeiten]

In Deutschland wurde der Chi-Quadrat-Verteilungstest gerichtlich als Mittel einer Finanzbehörde bestätigt, die Ordnungsmäßigkeit der Kassenführung zu beanstanden. Konkret wurde die Häufigkeitsverteilung von Ziffern in Kassenbucheintragungen mit dem Chi-Quadrat-Test untersucht, woraus sich ein „starkes Indiz für Manipulationen bei den Einnahmeaufzeichnungen“ ergab.[2]

Unabhängigkeitstest[Bearbeiten]

Der Unabhängigkeitstest ist ein Signifikanztest auf Unabhängigkeit in der Kontingenztafel.

Man betrachtet zwei statistische Merkmale X und Y, die beliebig skaliert sein können. Man interessiert sich dafür, ob die Merkmale stochastisch unabhängig sind. Es wird die Nullhypothese

H_0: Die Merkmale X und Y sind stochastisch unabhängig.

aufgestellt.

Vorgehensweise[Bearbeiten]

Die Beobachtungen von X liegen in m Kategorien j (j = 1, \dotsc, m) vor, die des Merkmals Y in r Kategorien k (k = 1, \dotsc, r). Treten bei einem Merkmal sehr viele Ausprägungen auf, fasst man sie zweckmäßigerweise zu Klassen j zusammen und fasst die Klassenzugehörigkeit als j-te Kategorie auf. Es gibt insgesamt n paarweise Beobachtungen von X und Y, die sich auf m \cdot r Kategorien verteilen.

Konzeptionell ist der Test so aufzufassen:

Man betrachte zwei diskrete Zufallsvariablen X und Y, deren gemeinsame Wahrscheinlichkeiten in einer Wahrscheinlichkeitstabelle dargestellt werden können.

Man zählt nun, wie oft die j-te Ausprägung von X zusammen mit der k-ten Ausprägung von Y auftritt. Die beobachteten gemeinsamen absoluten Häufigkeiten n_{jk} können in einer zweidimensionalen Häufigkeitstabelle mit m Zeilen und r Spalten eingetragen werden.

Merkmal Y Summe Σ
Merkmal X 1 2 k r nj.
1 n11 n12 ... n1k ... n1r n1.
2 n21 n22 n2k n2r n2.
j njk nj.
m nm1 nm2 nmk nmr nm.
Summe Σ n.1 n.2 n.k n.r n

Die Zeilen- bzw. Spaltensummen ergeben die absoluten Randhäufigkeiten n_{j\,\cdot} bzw. n_{\cdot\, k} als

 n_{j\,\cdot }= \sum_{k=1}^r n_{jk} und  n_{\cdot\, k}= \sum_{j=1}^m n_{jk}

Entsprechend sind die gemeinsamen relativen Häufigkeiten p_{jk} = n_{jk}/n und die relativen Randhäufigkeiten p_{j\,\cdot} = n_{j\,\cdot}/n und p_{\cdot\,k} = n_{\cdot\,k}/n.

Wahrscheinlichkeitstheoretisch gilt: Sind zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig, ist die Wahrscheinlichkeit für ihr gemeinsames Auftreten gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten:

 P(A\cap B)= P(A)\cdot P(B)

Man überlegt sich nun, dass analog zu oben bei stochastischer Unabhängigkeit von X und Y auch gelten müsste

 p_{jk}\approx p_{j\,\cdot}\cdot p_{\cdot\, k},

mit n multipliziert entsprechend

 n_{jk}\approx \frac{n_{j\,\cdot}\cdot n_{\cdot\,k}}{n} oder auch
 n_{jk} - \frac{n_{j\,\cdot}\cdot n_{\cdot \,k}}{n}\approx 0.

Sind diese Differenzen für sämtliche j, k klein, kann man vermuten, dass X und Y tatsächlich stochastisch unabhängig sind.

Setzt man für die erwartete Häufigkeit bei Vorliegen von Unabhängigkeit

n^*_{jk}=\frac{n_{j\,\cdot}\cdot n_{\cdot \,k}}{n},

resultiert aus der obigen Überlegung die Prüfgröße für den Unabhängigkeitstest

 \chi ^2= \sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^r \frac{(n_{jk}- n^*_{jk})^2}{n^*_{jk}}.

Die Prüfgröße \chi^2 ist bei ausreichend großen erwarteten Häufigkeiten n^*_{jk} annähernd \chi^2-verteilt mit (m-1)(r-1) Freiheitsgraden.

Wenn die Prüfgröße klein ist, wird vermutet, dass die Hypothese wahr ist. Also wird H_0 bei einem hohen Prüfgrößenwert abgelehnt, der Ablehnungsbereich für H_0 liegt rechts.

Bei einem Signifikanzniveau \alpha wird H_0 abgelehnt, wenn \chi^2 > \chi^2(1-\alpha; (m-1)(r-1)), dem (1-\alpha)-Quantil der \chi^2-Verteilung mit (m-1)(r-1) Freiheitsgraden ist.

Besonderheiten[Bearbeiten]

Damit die Prüfgröße als annähernd \chi^2-verteilt betrachtet werden kann, muss jede erwartete Häufigkeit n_{jk}^* eine gewisse Mindestgröße haben. Verschiedene Lehrwerke setzen diese bei 1 oder 5 an. Ist die erwartete Häufigkeit zu klein, können gegebenenfalls mehrere Klassen zusammengefasst werden, um die Mindestgröße zu erreichen.

Alternativ kann die Stichprobenverteilung der Teststatistik auf Basis der gegebenen Randverteilungen und der Annahme der Unabhängigkeit der Merkmale per Bootstrap untersucht werden.

Beispiel zum Unabhängigkeitstest[Bearbeiten]

Im Rahmen des Qualitätsmanagements wurden die Kunden einer Bank befragt, unter anderem nach ihrer Zufriedenheit mit der Geschäftsabwicklung und nach der Gesamtzufriedenheit. Der Grad der Zufriedenheit richtete sich nach dem Schulnotensystem.

Aus den Daten ergibt sich die folgende Kreuztabelle der Gesamtzufriedenheit von Bankkunden versus ihrer Zufriedenheit mit der Geschäftsabwicklung. Man sieht, dass einige erwartete Häufigkeiten zu klein waren.

Chigross.png

Eine Reduzierung der Kategorien auf jeweils drei durch Zusammenfassung der Noten 3–6 auf eine neue Gesamtnote 3 ergab methodisch korrekte Ergebnisse.

Chiklein.png

Die folgende Tabelle enthält die erwarteten Häufigkeiten n^*_{jk}, die sich so berechnen:

 n^*_{11}= \frac{102 \cdot 270}{621} = 44{,}35 \quad n^*_{12} = \frac{102 \cdot 273}{621}= 44{,}84 \quad \dotsb \quad n^*_{33}= \frac{160 \cdot 78}{621} = 20{,}10
Merkmal Y
Merkmal X 1 2 3 Σ
1 44,35 44,84 12,81 102
2 156,09 157,82 45,09 359
3 69,57 70,34 20,10 160
Σ 270 273 78 621

Die Prüfgröße wird dann folgendermaßen ermittelt:

 \chi^2 = \frac{(86 - 44{,}35)^2}{44{,}35} + \frac{(16 - 44{,}84)^2}{44{,}84} + \dotsb + \frac{(53 - 20{,}10)^2}{20{,}10} = 167{,}187

Bei einem \alpha = 0{,}05 liegt der kritische Wert der Testprüfgröße bei \chi^2(0{,}95; 4) = 9{,}488. Da \chi^2 > 9{,}488 ist, wird die Hypothese signifikant abgelehnt, man vermutet also, dass die Zufriedenheit mit der Geschäftsabwicklung und die Gesamtzufriedenheit assoziiert sind.

Homogenitätstest[Bearbeiten]

Mit dem Chi-Quadrat-Homogenitätstest kann anhand der zugehörigen Stichprobenverteilungen geprüft werden, ob m \geq 2 (unabhängige) Zufallsstichproben diskreter Merkmale X_1,\dotsc,X_m mit den Stichprobenumfängen n_1,\dotsc,n_m aus identisch verteilten (also homogenen) Grundgesamtheiten stammen. Damit ist er eine Hilfe bei der Entscheidung darüber, ob mehrere Stichproben derselben Grundgesamtheit bzw. Verteilung entstammen bzw. bei der Entscheidung, ob ein Merkmal in verschiedenen Grundgesamtheiten (z.B. Männer und Frauen) auf die gleiche Art verteilt ist. Der Test ist wie die anderen Chi-Quadrat-Tests auf jedem Skalenniveau anwendbar.[3][4]

Die Hypothesen lauten:

\!H_0: Die unabhängigen Merkmale X_1,\dotsc,X_m sind identisch verteilt.
\!H_1: Mindestens zwei der Merkmale X_1,\dotsc,X_m sind unterschiedlich verteilt.

Wenn mit F_k die Verteilungsfunktion von X_k angedeutet wird, können die Hypothesen auch wie folgt formuliert werden:

\!H_0: F_1=F_2=\dotsb=F_m
\!H_1: F_i\neq F_j  für mindestens ein i \neq j

Vorgehensweise[Bearbeiten]

Die untersuchte Zufallsvariable (das Merkmal), z.B. Antwort auf „die Sonntagsfrage“, sei k-fach gestuft, d.h. es gibt k Merkmalskategorien (das Merkmal besitzt k Ausprägungen), z.B. SPD, CDU, B90/Grüne, FDP, Die Linke und Andere[5] (d.h. k=6). Die Stichproben X_i\, können z.B. die Umfrageergebnisse verschiedener Meinungsforschungsinstitute sein. Von Interesse könnte dann sein, zu prüfen, ob sich die Umfrageergebnisse signifikant unterscheiden.

Die beobachteten Häufigkeiten je Stichprobe (Umfrage) und Merkmalskategorie (genannte Partei) n_{ij}\, werden in eine entsprechende m\times k-Kreuztabelle eingetragen (hier 3x3):

Merkmalskategorie j\,
Stichprobe X_i Kategorie 1 Kategorie 2 Kategorie 3 Summe
X_1\, n_{11}\, n_{12}\, n_{13}\, n_{11}+n_{12}+n_{13}=n_{1\bullet}
X_2\, n_{21}\, n_{22}\, n_{23}\, n_{21}+n_{22}+n_{23}=n_{2\bullet}
X_3\, n_{31}\, n_{32}\, n_{33}\, n_{31}+n_{32}+n_{33}=n_{3\bullet}
Summe n_{11}+n_{21}+n_{31}=n_{\bullet 1} n_{12}+n_{22}+n_{32}=n_{\bullet 2} n_{13}+n_{23}+n_{33}=n_{\bullet 3} n\,

Untersucht werden nun die Abweichungen zwischen den beobachteten (empirischen) Häufigkeits- bzw. Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Stichproben über die Kategorien des Merkmals. Die beobachteten Zellhäufigkeiten n_{ij}\, werden mit den Häufigkeiten verglichen, die bei Gültigkeit der Nullhypothese zu erwarten wären.

Aus den Randverteilungen werden die unter Gültigkeit der Nullhypothese einer homogenen Grundgesamtheit erwarteten Zellhäufigkeiten bestimmt:

E_{ij}=\frac{n_{i \bullet} n_{\bullet j}}{n}

bezeichnet die erwartete Anzahl von Beobachtungen (absolute Häufigkeit) von Stichprobe i in Kategorie j.

Anhand der so errechneten Größen wird folgende approximativ chi-Quadrat-verteilte Prüfgröße berechnet:

\chi^2=\sum_{j=1}^k \sum_{i=1}^m \frac{(n_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}

Um zu einer Testentscheidung zu gelangen, wird der erhaltene Wert der Prüfgröße mit dem zugehörigen kritischen Wert verglichen, d.h. mit dem von der Anzahl der Freiheitsgrade und dem Signifikanzniveau \alpha \, abhängigen Quantil der Chi-Quadrat-Verteilung (alternativ kann der p-Wert bestimmt werden). Sind die Abweichungen zwischen mindestens zwei Stichprobenverteilungen signifikant, wird die Nullhypothese verworfen, d.h. die Nullhypothese der Homogenität wird abgelehnt, falls

\chi^2 > \chi^2_{(k-1)(m-1);1-\alpha}.

Der Ablehnungsbereich für H_0 liegt rechts vom kritischen Wert.

Anwendungsbedingungen[Bearbeiten]

Damit die Prüfgröße als näherungsweise (approximativ) \chi^2 \,-verteilt betrachtet werden kann, müssen folgende Approximationsbedingungen gelten:[3][6]

  • „großer“ Stichprobenumfang (n > 30)
  • E_{ij} \geq 1 für alle i,j
  • min. 80 % der E_{ij} > 5\,
  • Rinne (2003) und Voß (2000) fordern zusätzlich Zellhäufigkeiten n_{ij} \geq 10 [3][6]

Sind einige erwartete Häufigkeiten zu klein, müssen mehrere Klassen bzw. Merkmalskategorien zusammengefasst werden, um die Approximationsbedingungen einzuhalten.

Besitzt die untersuchte Zufallsvariable sehr viele (mögliche) Ausprägungen, z.B. weil die Variable metrisch stetig ist, fasst man diese zweckmäßigerweise in m Klassen (=Kategorien) zusammen, um die nun klassierte Zufallsvariable mit dem Chi-Quadrat-Test untersuchen zu können. Hierbei ist jedoch zu beachten, dass die Art und Weise der Klassierung der Beobachtungen das Testergebnis beeinflussen kann.[6]

Vergleich zu Unabhängigkeits- und Anpassungstest[Bearbeiten]

Der Homogenitätstest kann auch als Unabhängigkeitstest interpretiert werden, wenn man die Stichproben als Ausprägungen eines zweiten Merkmals ansieht. Auch kann er als eine Form des Anpassungstests angesehen werden, bei der nicht eine empirische und eine theoretische Verteilung, sondern mehrere empirische Verteilungen verglichen werden. Unabhängigkeitstest und Anpassungstest sind jedoch Einstichprobenprobleme, während der Homogenitätstest ein Mehrstichprobenproblem darstellt. Beim Unabhängigkeitstest wird eine einzige Stichprobe bzgl. zweier Merkmale erhoben, beim Anpassungstest eine Stichprobe bzgl. einem Merkmal. Beim Homogenitätstest werden mehrere Stichproben bzgl. eines Merkmals erhoben.

Vierfeldertest[Bearbeiten]

Der Chi-Quadrat-Vierfeldertest ist ein statistischer Test. Er dient dazu, zu prüfen, ob zwei dichotome Merkmale stochastisch unabhängig voneinander sind bzw. ob die Verteilung eines dichotomen Merkmals in zwei Gruppen identisch ist.[7]

Vorgehensweise[Bearbeiten]

Der Vierfeldertest beruht auf einer (2x2)-Kontingenztafel, die die (bivariate) Häufigkeitsverteilung zweier Merkmale visualisiert:

Merkmal X
Merkmal Y Ausprägung 1 Ausprägung 2 Zeilensumme
Ausprägung 1 a b a+b
Ausprägung 2 c d c+d
Spaltensumme a+c b+d n = a+b+c+d

Laut einer Faustformel muss der Erwartungswert aller vier Felder mindestens 5 betragen. Der Erwartungswert wird dabei berechnet aus Zeilensumme*Spaltensumme/Gesamtzahl. Bei einem Erwartungswert kleiner 5 empfehlen Statistiker den Exakten Fisher-Test.

Teststatistik[Bearbeiten]

Um die Nullhypothese zu prüfen, dass beide Merkmale stochastisch unabhängig sind, wird zunächst folgende Prüfgröße für einen zweiseitigen Test berechnet:

	\widehat{ \chi^2} = \frac{n \cdot (a\cdot d-c\cdot b)^2}{(a+c)\cdot(b+d)\cdot(a+b)\cdot(c+d)} \; \stackrel{a}{\sim} \; \chi^2_1.

Die Prüfgröße ist näherungsweise chi-Quadrat-verteilt mit einem Freiheitsgrad. Sie sollte nur dann verwendet werden, wenn in jeder der beiden Stichproben mindestens sechs Merkmalsträger (Beobachtungen) enthalten sind.

Testentscheidung[Bearbeiten]

Ist der auf Grund der Stichprobe erhaltene Prüfwert kleiner als der zum gewählten Signifikanzniveau gehörende kritische Wert (d.h. das entsprechende Quantil der Chi-Quadrat-Verteilung), dann konnte der Test nicht nachweisen, dass ein signifikanter Unterschied besteht. Errechnet sich dagegen ein Prüfwert, der größer oder gleich dem kritischen Wert ist, so besteht zwischen den Stichproben ein signifikanter Unterschied.

Die Wahrscheinlichkeit, dass der berechnete (oder ein noch größerer) Prüfwert nur zufällig auf Grund der Stichprobenziehung erhalten wurde (p-Wert), lässt sich wie folgt näherungsweise berechnen:

p=\frac{1}{2} \cdot 10^\frac{-\widehat{\chi^2}}{3{,}84}

Die Näherung dieser (Faust-)Formel an den tatsächlichen p-Wert ist gut, wenn die Prüfgröße zwischen 2,0 und 8,0 liegt.[8]

Beispiele und Anwendungen[Bearbeiten]

Bei der Frage, ob eine medizinische Maßnahme wirksam ist oder nicht, ist der Vierfeldertest sehr hilfreich, da er sich auf das Hauptentscheidungskriterium konzentriert.

Beispiel 1[Bearbeiten]

Man befragt jeweils 50 (zufällig ausgewählte) Frauen und Männer, ob sie rauchen oder nicht.

Man erhält das Ergebnis:

  • Frauen: 25 Raucher, 25 Nichtraucher
  • Männer: 30 Raucher, 20 Nichtraucher

Führt man auf Basis dieser Erhebung einen Vierfeldertest durch, dann ergibt sich anhand der oben dargestellten Formel ein Prüfwert von ca. 1. Da dieser Wert kleiner ist als der kritische Wert 3,841, kann die Nullhypothese, dass das Rauchverhalten vom Geschlecht unabhängig ist, nicht verworfen werden. Der Anteil der Raucher bzw. Nichtraucher unterscheidet sich zwischen den Geschlechtern nicht signifikant.

Beispiel 2[Bearbeiten]

Man befragt jeweils 500 (zufällig ausgewählte) Frauen und Männer, ob sie rauchen oder nicht.

Folgende Daten werden erhalten:

  • Frauen: 250 Nichtraucher, 250 Raucher
  • Männer: 300 Nichtraucher, 200 Raucher

Hier ergibt sich anhand des Vierfeldertests ein Prüfwert von \tfrac{1000}{99}\approx 10{,}1, welcher größer als 3,841 ist. Da 10{,}1>3{,}841, kann die Nullhypothese, dass die Merkmale „Rauchverhalten“ und „Geschlecht“ stochastisch unabhängig voneinander sind, auf einem Signifikanzniveau von 0,05 abgelehnt werden.

Tabelle der Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung[Bearbeiten]

Die Tabelle zeigt die wichtigsten Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung. In der linken Spalte sind die Freiheitsgrade f und in der oberen Zeile die (1-\alpha)-Niveaus eingetragen. Ablesebeispiel: Das Quantil der Chi-Quadrat-Verteilung bei 2 Freiheitsgraden und einem \alpha-Niveau von 1 % beträgt 9,21.

1-α
f 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 0,999
1 2,71 3,84 5,02 6,63 7,88 10,83
2 4,61 5,99 7,38 9,21 10,60 13,82
3 6,25 7,81 9,35 11,34 12,84 16,27
4 7,78 9,49 11,14 13,28 14,86 18,47
5 9,24 11,07 12,83 15,09 16,75 20,52
6 10,64 12,59 14,45 16,81 18,55 22,46
7 12,02 14,07 16,01 18,48 20,28 24,32
8 13,36 15,51 17,53 20,09 21,95 26,12
9 14,68 16,92 19,02 21,67 23,59 27,88
10 15,99 18,31 20,48 23,21 25,19 29,59
11 17,28 19,68 21,92 24,72 26,76 31,26
12 18,55 21,03 23,34 26,22 28,30 32,91
13 19,81 22,36 24,74 27,69 29,82 34,53
14 21,06 23,68 26,12 29,14 31,32 36,12
15 22,31 25,00 27,49 30,58 32,80 37,70
16 23,54 26,30 28,85 32,00 34,27 39,25
17 24,77 27,59 30,19 33,41 35,72 40,79
18 25,99 28,87 31,53 34,81 37,16 42,31
19 27,20 30,14 32,85 36,19 38,58 43,82
20 28,41 31,41 34,17 37,57 40,00 45,31
21 29,62 32,67 35,48 38,93 41,40 46,80
22 30,81 33,92 36,78 40,29 42,80 48,27
23 32,01 35,17 38,08 41,64 44,18 49,73
24 33,20 36,42 39,36 42,98 45,56 51,18
25 34,38 37,65 40,65 44,31 46,93 52,62
26 35,56 38,89 41,92 45,64 48,29 54,05
27 36,74 40,11 43,19 46,96 49,64 55,48
28 37,92 41,34 44,46 48,28 50,99 56,89
29 39,09 42,56 45,72 49,59 52,34 58,30
30 40,26 43,77 46,98 50,89 53,67 59,70
40 51,81 55,76 59,34 63,69 66,77 73,40
50 63,17 67,50 71,42 76,15 79,49 86,66
60 74,40 79,08 83,30 88,38 91,95 99,61
70 85,53 90,53 95,02 100,43 104,21 112,32
80 96,58 101,88 106,63 112,33 116,32 124,84
90 107,57 113,15 118,14 124,12 128,30 137,21
100 118,50 124,34 129,56 135,81 140,17 149,45
200 226,02 233,99 241,06 249,45 255,26 267,54
300 331,79 341,40 349,87 359,91 366,84 381,43
400 436,65 447,63 457,31 468,72 476,61 493,13
500 540,93 553,13 563,85 576,49 585,21 603,45

Alternativen zum Chi-Quadrat-Test[Bearbeiten]

Der Chi-Quadrat-Test ist immer noch weit verbreitet, obwohl heute bessere Alternativen zur Verfügung stehen. Gerade bei kleinen Werten pro Zelle (Faustregel: xij < 5) ist die Prüfstatistik problematisch, während bei großen Stichproben der Chi-Quadrat-Test nach wie vor zuverlässig ist.

Der ursprüngliche Vorteil des Chi-Quadrat-Tests lag darin, dass die Prüfstatistik besonders für kleinere Tabellen auch von Hand berechnet werden kann, denn der schwierigste Rechenschritt ist die Quadrierung, während der genauere G-Test als schwierigsten Rechenschritt eine Logarithmierung erfordert. Die Prüfstatistik G ist annähernd Chi-Quadrat-verteilt und ist auch dann robust, wenn die Kontingenztafel seltene Ereignisse enthält.

In der Computerlinguistik hat sich der G-Test durchsetzen können, da dort die Häufigkeitsanalyse selten vorkommender Wörter und Textbausteine ein typisches Problem darstellt.

Da heutige Computer genug Rechenleistung bieten, lassen sich beide Tests durch den Exakten Test nach Fischer ersetzen.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Karl Pearson: On the criterion that a given system of derivations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling. In: The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 50, Nr. 5, 1900, S. 157–175.
  2. Beschluss des FG Münster vom 10. November 2003 (Az:6 V 4562/03 E,U)
  3. a b c  Horst Rinne: Taschenbuch der Statistik. 3. Auflage. Verlag Harri Deutsch, 2003, S. 562–563.
  4. Bernd Rönz, Hans G. Strohe (1994), Lexikon Statistik, Gabler Verlag, S. 69.
  5. siehe Politische Parteien in Deutschland
  6. a b c  Werner Voß: Taschenbuch der Statistik. 1. Auflage. Fachbuchverlag Leipzig, 2000, S. 447.
  7.  Jürgen Bortz, Nicola Döring: Forschungsmethoden und Evaluation für Human- und Sozialwissenschaftler. 4. Auflage. Springer, 2006, S. 103.
  8.  Hans-Hermann Dubben, Hans-Peter Beck-Bornholdt: Der Hund, der Eier legt. 4. Auflage. Rowohlt Science, 2009, S. 293.