Chirale Symmetrie

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Die Chirale Symmetrie (von griechisch χέρι Hand) ist eine mögliche Symmetrie der Lagrangefunktion in der Quantenfeldtheorie, die vielfach – zumindest näherungsweise – gegeben ist und dann eine wichtige Rolle spielt, z. B. bei den Pionen.

Dabei werden linkshändiger und rechtshändiger Anteil der Fermionischen Felder unabhängig transformiert. Die chirale Symmetrietransformation kann aufgeteilt werden in eine Komponente, die linkshändigen und rechtshändigen Anteil gleich behandelt (Vektor-Symmetrie), und eine Komponente, die sie „entgegengesetzt“ behandelt (Axiale Symmetrie). Der letztgenannte Anteil verschwindet durch Quark-Kondensation in der erstgenannten Phase.

Beispiel: u- und d-Quarks in der QCD[Bearbeiten]

Man betrachte die Quantenchromodynamik (QCD) mit den beiden masselosen Quarks u und d. Die Lagrange-Funktion lautet

\mathcal{L} = \overline{u}\,i\displaystyle{\not}D \,u + \overline{d}\,i\displaystyle{\not}D\, d + \mathcal{L}_\mathrm{Gluonen}\,.

Das i bedeutet dabei die imaginäre Einheit und \displaystyle{\not}D den Dirac-Operator in der Feynman-Slash-Notation. Die u und d sind die üblichen Größen der Dirac-Theorie, mit je vier Komponenten.

Nach der Quantenchromodynamik sind die Mesonen aus je einem Quark und einem Antiquark zusammengesetzt, z. B. das \,\pi^+ aus einem \,u und einem \overline d. Das ändert jedoch die folgende Herleitung nicht bzw. nur „cum grano salis“.

In der Darstellung der linkshändigen und rechtshändigen Spinoren erhält man also zunächst

\mathcal{L} = \overline{u}_L\,i\displaystyle{\not}D \,u_L + \overline{u}_R\,i\displaystyle{\not}D \,u_R + \overline{d}_L\,i\displaystyle{\not}D \,d_L  + \overline{d}_R\,i\displaystyle{\not}D \,d_R + \mathcal{L}_\mathrm{Gluonen}\,.

Es wird definiert

q = \begin{bmatrix} u \\ d \end{bmatrix}\,.

Somit folgt

\mathcal{L} = \overline{q}_L\,i\displaystyle{\not}D \,q_L + \overline{q}_R\,i\displaystyle{\not}D \,q_R + \mathcal{L}_\mathrm{Gluonen}\,.

Die Lagrangefunktion bleibt bei Rotation der q_L mit unitären 2x2-Matrizen L und bei Rotation der q_R mit unitären 2x2-Matrizen R jeweils invariant. Diese Symmetrie der Langrangefunktion wird Flavor-Symmetrie oder Chirale Symmetrie genannt und als U(2)_L \times U(2)_R notiert. Sie kann in folgende Teilsymmetrien zerlegt werden

SU(2)_L \times SU(2)_R \times U(1)_V \times U(1)_A\,\,.

Die Vektor-Symmetrie U(1)_V\, lautet


q_L \rightarrow e^{i\theta} q_L \qquad
q_R \rightarrow e^{i\theta} q_R

und entspricht der Baryonenzahl-Erhaltung.

Die entsprechende axiale Operation U(1)_A\, ist


q_L \rightarrow e^{i\theta} q_L \qquad
q_R \rightarrow e^{-i\theta} q_R\,.

Sie entspricht keiner  Erhaltungsgröße, da sie durch eine Quanten-Anomalie gebrochen wird.

Es stellt sich heraus, dass die verbleibende chirale Symmetrie SU(2)_L \times SU(2)_R zur Vektor-Untergruppe SU(2)_V\, (der Isospin-Gruppe) spontan gebrochen wird. Die Symmetriebrechung äußert sich dabei durch ein entsprechendes, vollständiges Quark-Kondensat.

Die Goldstonebosonen, die den drei gebrochenen Generatoren der Transformation entsprechen, sind die Pionen. Da die Massen der Quarks nicht gleich sind, ist die SU(2)_L \times SU(2)_R nur näherungsweise eine Symmetrie des Systems. Die Pionen sind somit keine „echten“, masselosen Goldstone-Bosonen, sondern sog. Pseudo-Goldstonebosonen.

Chiraler Limes[Bearbeiten]

Von der „chiralen Symmetrie“ zu unterscheiden  ist der sogenannte „chirale Limes“ (m\to 0) einer einzelnen Dirac-Gleichung. Dieser Limes ist am besten bei Neutrinos bzw. ihren Antiteilchen mit ihrer wohldefinierten Chiralität realisiert („Linksschraube“ bzw. „Rechtsschraube“ bzgl. Spin und Impuls bei Neutrinos bzw. Antineutrinos, \quad \vec s \propto \mp \vec p), sowie im Festkörper bei den Graphenen.

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