Chow-Gruppe

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In der Algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Chow-Gruppen eine wichtige Invariante von Varietäten.

Definition[Bearbeiten]

Sei X eine glatte, irreduzible, projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.

Die Gruppe der algebraischen Zykel der Kodimension i

\mathcal{Z}^i(X)

ist definiert als die freie abelsche Gruppe erzeugt von den irreduziblen (nicht notwendig glatten) Untervarietäten W\subset X der Kodimension i. Ein Element Z\in\mathcal{Z}^i(X) ist also eine endliche Summe

Z=\sum_\alpha n_\alpha W_\alpha

mit n_\alpha\in\Z und W_\alpha\subset X irreduzible Untervarietät.

Zwei Untervarietäten

Y,Z\subset X

heißen rational äquivalent, wenn es eine Untervarietät

V\subset X\times P^1

sowie a,b\in P^1 mit

pr_X(V\cap X\times\left\{a\right\})=Y,pr_X(V\cap X\times\left\{b\right\})=Z

gibt. Rationale Äquivalenz definiert eine Äquivalenzrelation auf der Zykelgruppe \mathcal{Z}^i(X).

Die Chow-Gruppe CH^i(X) ist definiert als Quotient der Zykel-Gruppe modulo rationaler Äquivalenz:

CH^i(X)=\mathcal{Z}^i(X)/\sim.

Chow-Ring[Bearbeiten]

Das Schnittprodukt definiert eine Abbildung

CH^i(X)\otimes CH^j(X)\rightarrow CH^{i+j}(X)

für alle i,j. Der Chow-Ring ist die direkte Summe der Chow-Gruppen

CH(X)=\bigoplus_{i=0}^\infty CH^i(X)

mit der durch das Schnittprodukt definierten Multiplikation.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Für jede glatte, irreduzible Varietät ist
CH^0(X)=\Z.
CH^1(X)=Pic(X).

Literatur[Bearbeiten]

  • Chow, Wei-Liang (1956), "On Equivalence Classes of Cycles in an Algebraic Variety", Annals of Mathematics 64: 450–479, ISSN 0003-486X
  • Fulton, William (1998), Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics 2, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98549-7, MR 1644323