Clausen-Funktion

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Graph der Clausen-Funktion \mathrm{Cl}_2(\theta) (rot) und \mathrm{Cl}_4(\theta) (grün)

In der Mathematik ist die Clausen-Funktion durch das folgende Integral definiert:

\operatorname{Cl}_2(\theta) = - \int_0^\theta \log|2 \sin(t/2)| \, \mathrm{d}t.

Allgemeine Definition[Bearbeiten]

Allgemeiner definiert man für komplexe s mit \operatorname{Re}(s) > 1:

\operatorname{Cl}_s(\theta) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n\theta)}{n^s} = \sin (\theta) + \frac{\sin (2\theta)}{2^s} + \frac{\sin (3\theta)}{3^s} + \frac{\sin (4\theta)}{4^s} + \cdots

Diese Definition kann auf der gesamten komplexen Ebene analytisch fortgesetzt werden.

Beziehung zum Polylogarithmus[Bearbeiten]

Die Clausen-Funktion steht in Beziehung zum Polylogarithmus:

\operatorname{Cl}_s(\theta)
= \operatorname{Im} (\operatorname{Li}_s(e^{i \theta})).

Kummers Beziehung[Bearbeiten]

Ernst Kummer und Rogers führen folgende für 0\leq \theta \leq 2\pi gültige Beziehung an:

\operatorname{Li}_2(e^{i \theta}) = \zeta(2) - \theta(2\pi-\theta)/4 + i\operatorname{Cl}_2(\theta)

Beziehung zu den Dirichlet L-Funktionen[Bearbeiten]

Für rationale Werte von \theta/\pi kann die Funktion \sin(n\theta) als periodischer Orbit eines Elementes einer zyklischen Gruppe aufgefasst werden. Folglich kann \operatorname{Cl}_s(\theta) als einfache Summe aufgefasst werden, welche die Hurwitzsche Zeta-Funktion beinhaltet. Das erlaubt es, Beziehungen zwischen bestimmten Dirichlet L-Funktionen einfach zu berechnen.

Die Clausen-Function als eine Regularisierungs-Methode[Bearbeiten]

Die Clausen-Funktion kann auch als Methode betrachtet werden, um folgenden divergenten Fourier-Reihen eine Bedeutung zu geben:

\sin(\theta )+2\sin(2\theta )+ 3\sin(3\theta)+....

was mit \operatorname{Cl}_{-1}(\theta) bezeichnet werden kann. Durch Integration erhält man:

 \cos(\theta) + \cos(2\theta) + \cos(3 \theta)+..........= -\int d{\theta} \operatorname{Cl}_{-1}(\theta)

Dieses Ergebnis kann durch analytische Fortsetzung für alle negativen s verallgemeinert werden.

Reihenentwicklung[Bearbeiten]

Eine Reihenentwicklung für die Clausen-Funktion (für |\theta|<2\pi) ist

\frac{\operatorname{Cl}_2(\theta)}{\theta} = 
1-\log|\theta| - 
\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)}{n(2n+1)} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^n \text{.}

\zeta(s) ist dabei die Riemannsche Zeta-Funktion. Eine schneller konvergierende Reihe ist

\frac{\operatorname{Cl}_2(\theta)}{\theta} = 
3-\log\left[|\theta| \left(1-\frac{\theta^2}{4\pi^2}\right)\right]
-\frac{2\pi}{\theta} \log \left( \frac{2\pi+\theta}{2\pi-\theta}\right) 
+\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)-1}{n(2n+1)} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^n \text{.}

Die Konvergenz wird dadurch sichergestellt, dass \zeta(n)-1 für große n schnell gegen 0 konvergiert.

Spezielle Werte[Bearbeiten]

Einige spezielle Werte sind:

\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{2}\right)=G,

wobei G die Catalansche Konstante ist.

Allgemeiner:

\operatorname{Cl}_s\left(\frac{\pi}{2}\right)=\beta(s)

wobei \beta(s) die Dirichletsche Beta-Funktion ist.

Literatur[Bearbeiten]