Clausius-Mossotti-Gleichung

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Die Clausius-Mossotti-Gleichung verknüpft die makroskopisch messbare Größe Permittivitätszahl \varepsilon_{\mathrm{r}} mit der mikroskopischen (molekularen) Größe elektrische Polarisierbarkeit \alpha. Sie ist benannt nach den beiden Physikern Rudolf Clausius und Ottaviano Fabrizio Mossotti und lautet:

P_m = \frac{\varepsilon_{\mathrm{r}} - 1}{\varepsilon_{\mathrm{r}} + 2} \frac{M_m}{\rho} = \frac{N_{\mathrm{A}}}{3 \, \varepsilon_0} \alpha

Dabei ist

Die Gleichung gilt für unpolare Stoffe ohne permanentes Dipolmoment, d. h. es gibt nur induzierte Dipole (Verschiebungspolarisation). Für Stoffe mit permanenten Dipolen wird die Debye-Gleichung verwendet, die neben der Verschiebungspolarisation auch die Orientierungspolarisation berücksichtigt.

Herleitung[Bearbeiten]

Die makroskopische Polarisation \vec P ist die Summe aller induzierten Dipole \vec{p}_{\text{ind}} geteilt durch das betrachtete Volumen (die Polarisation entspricht einer Dipoldichte):

\vec{P} = N\vec{p}_{\text{ind}} = N\alpha \vec{E}_{\text{lokal}}

wobei N die Teilchenzahldichte, \alpha Polarisierbarkeit, \vec{E}_{\text{lokal}} lokale elektrische Feldstärke am Ort des Atoms/Moleküls.

Die makroskopisch messbaren Größen elektrische Suszeptibilität \chi bzw. die Permittivitätszahl \varepsilon_{\mathrm{r}} stellen den Zusammenhang zwischen der Polarisation und dem E-Feld her:

\vec{P} = \chi \varepsilon _{0}\vec{E} = \left( \varepsilon_{\mathrm{r}} - 1 \right)\varepsilon _{0}\vec{E}

Man erhält durch Gleichsetzen folgende Gleichung:

\left( \varepsilon_{\mathrm{r}} - 1 \right)\varepsilon _{0}\vec{E} = N\alpha \vec{E}_{\text{lokal}}

Um weiterführende Aussagen machen zu können, muss das lokale Feld bestimmt werden.

Nebenbemerkung: Für verdünnte Gase beeinflussen sich die induzierten Dipole nicht, das lokale Feld ist gleich dem angelegten äußeren Feld  \vec{E}_{\text{lokal}}=\vec{E}  und daraus:

\left( \varepsilon_{\mathrm{r}} -1 \right) = \frac{N}{\varepsilon _{0}}\alpha

Für ein Dielektrikum höherer Dichte ist das lokale Feld ungleich dem angelegten äußeren Feld, da in der Nähe befindliche induzierte Dipole auch ein elektrisches Feld aufbauen.

\vec{E}_{\text{lokal}}=\vec{E}+\vec{E}_{\text{L}}
\vec{E}: von außen angelegtes elektrisches Feld + auf Dielektrikum-Oberfläche erzeugtes Polarisationsfeld (Entelektrisierungsfeld),
\vec{E}_{\text{L}} = \vec{P}/(3\varepsilon_0): Feld der Polarisationsladungen auf der Oberfläche einer fiktiven Kugel um das betrachtete Molekül (Lorentzfeld)

Dies ergibt ein lokales E-Feld von:

\vec{E}_{\text{lokal}} = \vec{E} + \frac{1}{3\varepsilon _{0}}\vec{P} = \vec{E} + \frac{\left( \varepsilon_{\mathrm{r}} - 1 \right)\varepsilon _{0}}{3\varepsilon _{0}}\vec{E} = \frac{\varepsilon_{\mathrm{r}} + 2}{3} \vec{E}

Eingesetzt in obige Gleichung:

\left( \varepsilon_{\mathrm{r}} - 1 \right)\varepsilon _{0}\vec{E} = N\alpha  \frac{\varepsilon_{\mathrm{r}} + 2}{3} \vec{E}

Umstellen liefert:

\frac{\varepsilon_{\mathrm{r}} - 1}{\varepsilon_{\mathrm{r}} + 2} = \frac{N\alpha }{3\varepsilon _{0}}

Bzw. nach \varepsilon_r aufgelöst:

\varepsilon_{\mathrm{r}} = 1 + \chi _{e} = 1 + \frac{3N\alpha }{3\varepsilon _{0}-N\alpha }

Nun kann man noch die Teilchendichte N durch makroskopisch messbare Größen ausdrücken (Dichte \rho, molare Masse M_m und Avogadrokonstante N_{\mathrm{A}}):

N = \frac{N_{A}\rho }{M_{m}}

Einsetzen liefert die Clausius-Mossotti-Gleichung:

\frac{\varepsilon_{\mathrm{r}} - 1}{\varepsilon_{\mathrm{r}} + 2} \frac{M_m}{\rho} = \frac{N_{\mathrm{A}}}{3 \varepsilon_0} \alpha

Bzw. nach \varepsilon_{\mathrm{r}} aufgelöst:

\varepsilon_{\mathrm{r}} = 1 + \chi _{e} = 1 + \frac{3 N_{\mathrm{A}} \rho \alpha }{3M_{m}\varepsilon _{0} - N_{\mathrm{A}}\rho \alpha }

Literatur[Bearbeiten]

  •  Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: Lectures on Physics, Volume II. Definitive Edition Auflage. Addison-Wesley, 2005, ISBN 0-8053-9047-2.