Clausius-Mossotti-Gleichung

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Die Clausius-Mossotti-Gleichung verknüpft die makroskopisch messbare Größe Permittivitätszahl \varepsilon_r mit der mikroskopischen (molekularen) Größe elektrische Polarisierbarkeit \alpha. Sie ist benannt nach den beiden Physikern Rudolf Clausius und Ottaviano Fabrizio Mossotti und lautet:

P_m = \frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r+2} \frac{M_m}{\rho} = \frac{N_A}{3 \, \varepsilon_0} \alpha

Dabei ist

Die Gleichung gilt für unpolare Stoffe ohne permanentes Dipolmoment, d.h. es gibt nur induzierte Dipole (Verschiebungspolarisation). Für Stoffe mit permanenten Dipolen wird die Debye-Gleichung verwendet, die neben der Verschiebungspolarisation auch die Orientierungspolarisation berücksichtigt.

Herleitung[Bearbeiten]

Die makroskopische Polarisation \vec P ist die Summe aller induzierten Dipole \vec{p}_{\text{ind}} geteilt durch das betrachtete Volumen (die Polarisation entspricht einer Dipoldichte):

\vec{P}=N\vec{p}_{\text{ind}}=N\alpha \vec{E}_{\text{lokal}}

wobei N die Teilchenzahldichte, \alpha Polarisierbarkeit, \vec{E}_{\text{lokal}} lokale elektrische Feldstärke am Ort des Atoms/Moleküls.

Die makroskopisch messbaren Größen elektrische Suszeptibilität \chi bzw. die Dielektrizitätskonstante \varepsilon_r stellen den Zusammenhang zwischen der Polarisation und dem E-Feld her:

\vec{P}=\chi \varepsilon _{0}\vec{E}=\left( \varepsilon_r -1 \right)\varepsilon _{0}\vec{E}

Man erhält durch Gleichsetzen folgende Gleichung:

\left( \varepsilon_r -1 \right)\varepsilon _{0}\vec{E}=N\alpha \vec{E}_{\text{lokal}}

Um weiterführende Aussagen machen zu können, muss das lokale Feld bestimmt werden.

Nebenbemerkung: Für verdünnte Gase beeinflussen sich die induzierten Dipole nicht, das lokale Feld ist gleich dem angelegten äußeren Feld  \vec{E}_{\text{lokal}}=\vec{E}  und daraus:

\left( \varepsilon_r -1 \right)=\frac{N}{\varepsilon _{0}}\alpha

Für ein Dielektrikum höherer Dichte ist das lokale Feld ungleich dem angelegten äußeren Feld, da in der Nähe befindliche induzierte Dipole auch ein elektrisches Feld aufbauen.

\vec{E}_{\text{lokal}}=\vec{E}+\vec{E}_{\text{L}}
\vec{E}: von außen angelegtes elektrisches Feld + auf Dielektrikum-Oberfläche erzeugtes Polarisationsfeld (Entelektrisierungsfeld),
\vec{E}_{\text{L}}=\vec{P}/(3\varepsilon_0): Feld der Polarisationsladungen auf der Oberfläche einer fiktiven Kugel um das betrachtete Molekül (Lorentzfeld)

Dies ergibt ein lokales E-Feld von:

\vec{E}_{\text{lokal}}=\vec{E}+\frac{1}{3\varepsilon _{0}}\vec{P}=\vec{E}+\frac{\left( \varepsilon_r -1 \right)\varepsilon _{0}}{3\varepsilon _{0}}\vec{E}= \frac{\varepsilon_r +2}{3} \vec{E}

Eingesetzt in obige Gleichung:

\left( \varepsilon_r -1 \right)\varepsilon _{0}\vec{E}=N\alpha  \frac{\varepsilon_r +2}{3} \vec{E}

Umstellen liefert:

\frac{\varepsilon_r -1}{\varepsilon_r +2}=\frac{N\alpha }{3\varepsilon _{0}}

Bzw. nach \varepsilon_r aufgelöst:

\varepsilon _{r}=1+\chi _{e}=1+\frac{3N\alpha }{3\varepsilon _{0}-N\alpha }

Nun kann man noch die Teilchendichte N durch makroskopisch messbare Größen ausdrücken (Dichte \rho, molare Masse M_m und Avogadrokonstante N_A):

N=\frac{N_{A}\rho }{M_{m}}

Einsetzen liefert die Clausius-Mossotti-Gleichung:

\frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r+2} \frac{M_m}{\rho} = \frac{N_A}{3 \varepsilon_0} \alpha

Bzw. nach \varepsilon_r aufgelöst:

\varepsilon_{r}=1+\chi _{e}=1+\frac{3N_{A}\rho \alpha }{3M_{m}\varepsilon _{0}-N_{A}\rho \alpha }

Literatur[Bearbeiten]

  •  Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: Lectures on Physics, Volume II. Definitive Edition Auflage. Addison-Wesley, 2005, ISBN 0-8053-9047-2.