club-Menge

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Als club-Menge wird in der Mengenlehre eine Teilmenge einer Limesordinalzahl bezeichnet, die die Eigenschaften der Abgeschlossenheit und der Unbeschränktheit (engl. closed und unbounded) besitzt.

Definition[Bearbeiten]

Sei \lambda eine Limesordinalzahl. Eine Teilmenge x\subseteq\lambda heißt

  • abgeschlossen, wenn für jede Folge \langle\alpha_\xi \in x \mid\xi\in\mu\rangle aus x gilt:
    \lim_{\xi\to\mu}\alpha_\xi=\delta\in\lambda\Rightarrow\delta\in x,
  • unbeschränkt, wenn für alle \alpha\in\lambda ein \beta\in x existiert mit \beta\geq\alpha.

x heißt club-Menge, falls x sowohl abgeschlossen als auch unbeschränkt ist.

Beispiele[Bearbeiten]

Für \lambda=\omega ist der Begriff der Abgeschlossenheit leer, weil es keine Limesordinalzahlen unter \omega gibt; club-Mengen von \omega sind also lediglich unbeschränkte, d.h. unendliche Teilmengen der natürlichen Zahlen.

Fasst man \lambda und die Klasse der Ordinalzahlen \operatorname{Ord} mittels der Ordnungstopologie als topologische Räume auf, so ist das Bild jeder stetigen monoton steigenden Funktion f\colon \lambda\to\operatorname{Ord} eine club-Menge.

Der club-Filter[Bearbeiten]

Ist die Konfinalität der Limeskardinalzahl \lambda überabzählbar, \operatorname{cf}\lambda>\omega, so ist der Schnitt zweier club-Mengen wieder eine club-Menge. Setzt man \mathcal{C}_\lambda=\{x\subseteq\lambda\mid\exists C\subseteq x \ C\text{ club}\}, so bildet \mathcal{C_\lambda} also einen Filter, den club-Filter. Er hat unter anderem folgende Eigenschaften:

Das zu \mathcal{C}_\lambda duale Ideal, definiert durch \mathcal{I}_\lambda=\{D\subseteq\lambda\mid\lambda\setminus D\in\mathcal{C}_\lambda\}, wird als Ideal der dünnen Teilmengen bezeichnet.

Eine Menge S\subseteq\lambda heißt stationär, falls sie nicht dünn ist, also S\notin\mathcal{I}_\lambda gilt. Eine Menge ist genau dann stationär, wenn ihr Schnitt mit jeder club-Menge nicht leer ist.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]