Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus

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Graph des Tangens Hyperbolicus
Graph des Kotangens Hyperbolicus

Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus sind Hyperbelfunktionen. Man nennt sie auch Hyperbeltangens oder hyperbolischen Tangens bzw. Hyperbelkotangens oder hyperbolischen Kotangens.

Schreibweisen[Bearbeiten]

Tangens Hyperbolicus: y = \tanh\,x
Kotangens Hyperbolicus: y = \coth\,x

Definitionen[Bearbeiten]

\tanh x  = \frac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}=\frac{\mathrm{e}^{2x}-1}{\mathrm{e}^{2x}+1}=1-\frac{2}{\mathrm{e}^{2x}+1}=\frac{\sinh x}{\cosh x}


\coth x = \frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}} = \frac{\mathrm{e}^{2x}+1}{\mathrm{e}^{2x}-1} = 
1+\frac{2}{\mathrm{e}^{2x}-1}=  \frac{\cosh x} {\sinh x}

Eigenschaften[Bearbeiten]

  Tangens Hyperbolicus Kotangens Hyperbolicus
Definitionsbereich  - \infty < x < + \infty  - \infty < x < + \infty ;  x \ne 0
Wertebereich -1<f\left(x\right)<1 -\infty<f\left(x\right)<-1  ; 1<f\left(x\right)<+\infty
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend x < 0 streng monoton fallend
x > 0 streng monoton fallend
Symmetrien Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
Asymptoten x\to \ + \infty\colon f\left(x\right)\to \ +1
x\to \ -\infty\colon f\left(x\right)\to \ -1
x\to \ + \infty\colon f\left(x\right)\to \ +1
x\to \ - \infty\colon f\left(x\right)\to \ -1
Nullstellen  x = 0 keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine x = 0
Extrema keine keine
Wendepunkte  \left(0,0\right) keine

Spezielle Werte[Bearbeiten]

Der Kotangens Hyperbolicus hat zwei Fixpunkte, d.h. es gibt zwei u \in \mathbb R, sodass

\coth\,u=u.

Sie liegen bei u_\pm = \pm 1{,}19967864\dots (Folge A085984 in OEIS)

Umkehrfunktionen[Bearbeiten]

Der Tangens Hyperbolicus ist eine Bijektion \tanh:\mathbb{R}\rightarrow (-1,1). Die Umkehrfunktion nennt man Areatangens Hyperbolicus und ist für Zahlen x aus dem Intervall (-1,1) definiert und nimmt als Wert alle reellen Zahlen an. Sie lässt sich durch den natürlichen Logarithmus ausdrücken:

\mathrm{artanh}\,x=\frac12\ln\frac{1+x}{1-x}.

Für die Umkehrung des Kotangens Hyperbolicus gilt:

\mathrm{arcoth}\,x = \frac{1}{2}\ln\frac{x+1}{x-1}

Ableitungen[Bearbeiten]

 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tanh x = 1-\tanh^2 x =  \frac{1}{\cosh^2 x}= \operatorname{sech}^2 x


 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \coth x = 1-\coth^2 x = -\frac{1}{\sinh^2 x}=-\operatorname{csch}^2 x

Die n-te Ableitung ist gegeben durch

\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}z^n}\tanh z=\frac{2^{n+1}\mathrm{e}^{2z}}{(1+\mathrm{e}^{2z})^{n+1}} \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k  A_{n,k}\,\mathrm{e}^{2kz}

mit den Euler-Zahlen An,k.

Additionstheorem[Bearbeiten]

Es gilt das Additionstheorem

\tanh(\alpha+\beta)=\frac{\tanh\alpha+\tanh\beta}{1+\tanh\alpha\,\tanh\beta}

analog dazu:

\coth(\alpha+\beta)=\frac{1+\coth\alpha\,\coth\beta}{\coth\alpha+\coth\beta}

Integrale[Bearbeiten]

 \int\tanh x\,\mathrm{d}x = \ln\cosh x+C


 \int\coth x\,\mathrm{d}x = \ln\sinh x+C

Weitere Darstellungen[Bearbeiten]

Reihenentwicklungen[Bearbeiten]

 \tanh x = \sgn x \left[1+ \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k\,2\,\mathrm{e}^{-2k|x|}\right]


 \coth x = \frac{1}{x}+ \sum\limits_{k=1}^\infty  \frac{2x} {k^2\pi^2+x^2}

Der Anfang der Taylorreihe des Tangens Hyperbolicus lautet:

 \tanh x = \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \cdot \frac{2^{2n}(2^{2n} -1)}{(2n)!} \cdot B_n \cdot x^{2n - 1} = x- \frac13 x^3 + \frac {2}{15} x^5+\cdots

Die B_n sind die Bernoulli-Zahlen. Der Konvergenzradius dieser Reihe ist \pi/2.

Kettenbruchdarstellung[Bearbeiten]

Gauß zeigte folgende Formel:

\tanh x=\frac{x}{1+\cfrac{x^2}{3+\cfrac{x^2}{5+\ldots}}}

Differentialgleichung[Bearbeiten]

\tanh löst folgende Differentialgleichungen:

f^\prime =1-f^2 oder
\frac12 f^{\prime\prime}=f^3-f

mit f(0)=0 und f^\prime (\infty )=0

Komplexe Argumente[Bearbeiten]

\tanh(x + i\,y) = \frac{\sinh(2x)}{\cosh(2x) + \cos(2y)} + i \, \frac{\sin(2y)}{\cosh(2x) + \cos(2y)}


\tanh(i\,y)   = i\,\tan y


\coth(x +i\,y) = \frac{\sinh(2x)}{\cosh(2x) - \cos(2y)} + i \, \frac{-\sin(2y)}{\cosh(2x) - \cos(2y)}


\coth(i\,y)   = -i\,\cot y

Anwendungen in der Physik[Bearbeiten]

  • Tangens und Kotangens Hyperbolicus können benutzt werden, um die zeitliche Abhängigkeit der Geschwindigkeit beim Fall mit Luftwiderstand oder auch beim Wurf nach unten zu beschreiben, wenn für den Strömungswiderstand eine turbulente Strömung angesetzt wird (Newton-Reibung). Das Koordinatensystem werde so gelegt, dass die Ortsachse nach oben zeigt. Für die Geschwindigkeit gilt dann eine Differenzialgleichung der Form \dot{v} = -g + k v^2 mit der Schwerebeschleunigung g und einer Konstanten k > 0. Es gibt dann immer eine Grenzgeschwindigkeit v_g = -\sqrt{\frac{g}{k}} < 0 , die für t \to \infty erreicht wird, und es gilt:
    • beim Fall oder Wurf nach unten mit einer Anfangsgeschwindigkeit kleiner der Grenzgeschwindigkeit: v(t) = v_g \cdot \tanh\left(\sqrt{gk}t + c\right) mit c = \mathrm{artanh}\,\frac{v(0)}{v_g} \ge 0
    • beim Wurf nach unten mit einer Anfangsgeschwindigkeit größer der Grenzgeschwindigkeit: v(t) = v_g \cdot \coth\left(\sqrt{gk}t + c\right) mit c = \mathrm{arcoth}\,\frac{v(0)}{v_g} > 0
  • Der Tangens Hyperbolicus beschreibt ferner die thermische Besetzung eines Zwei-Zustands-Systems in der Quantenmechanik: ist n die gesamte Besetzung der beiden Zustände und E ihr Energie-Unterschied, so ergibt sich für die Differenz der Besetzungszahlen \delta n = n \cdot \tanh\frac{E}{2k_BT}, wobei k_\mathrm{B} die Boltzmann-Konstante und T die absolute Temperatur ist.
B_J(x) = \frac{1}{J}\left[\left(J+\frac{1}{2}\right)\coth\left(J\,x+\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2} \coth\frac{x}{2}\right]
  • Der Kotangens Hyperbolicus tritt auch in der Kosmologie auf: die zeitliche Entwicklung des Hubble-Parameters in einem flachen Universum, das im Wesentlichen nur Materie und Dunkle Energie enthält (was ein gutes Modell für unser tatsächliches Universum ist), wird beschrieben durch H(t) = H_g \coth\frac{t}{t_{ch}}, wobei t_{ch} = \frac{2}{3 H_g} eine charakteristische Zeitskala ist und H_g = \sqrt{\Omega_{\Lambda,0}} H_0 der Grenzwert des Hubble-Parameters für t \to \infty ist (H_0 ist dabei der heutige Wert des Hubble-Parameters, \Omega_{\Lambda,0} der Dichteparameter für die Dunkle Energie). (Dieses Ergebnis ergibt sich leicht aus dem zeitlichen Verhalten des Skalenparameters, welches aus den Friedmann-Gleichungen abgeleitet werden kann.) Bei der Zeitabhängigkeit des Dichteparameters der Dunklen Energie tritt dagegen der Tangens Hyperbolicus auf: \Omega_{\Lambda}(t) = \tanh^2(t/t_{ch}) .

Weblinks[Bearbeiten]