Coulomb-Eichung

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Die Coulomb-Eichung (aufgrund des Zusammenhangs mit dem Coulomb Potential (s.u.); auch Strahlungseichung oder transversale Eichung) ist eine mögliche Eichung der Elektrodynamik, beschreibt also eine Einschränkung der elektrodynamischen Potentiale.

Eichfreiheit der Elektrodynamik[Bearbeiten]

Um die Lösung der Maxwell-Gleichungen zu erleichtern, führt man für das elektrische und das Magnetfeld das Skalarpotential \Phi und das Vektorpotential \vec A ein, die die klassisch beobachtbaren Felder durch

\vec B(\vec r, t)=\nabla \times \vec A(\vec r, t)
\vec E(\vec r, t)=-\nabla \Phi - \partial_t \vec A(\vec r, t)

beschreiben.

Diese Definition erlaubt sogenannte Eichfreiheiten in der Wahl von skalarem Potential und Vektorpotential, die keine Auswirkungen auf messbare Größen haben, insbesondere nicht auf elektrisches Feld und magnetische Flussdichte.

Die Coulomb-Eichung[Bearbeiten]

Diese Eichfreiheit wird in der Coulomb-Eichung dazu genutzt, die Divergenzfreiheit des Vektorpotentials zu fordern:

\nabla \cdot\vec A(\vec r, t)=0

Wegen \triangle =\nabla\cdot \nabla und \frac{\partial}{\partial t}\nabla =\nabla\frac{\partial}{\partial t} folgen daraus die im nächsten Paragraphen notierten Resultate.

(Die Eichfreiheit besteht hier darin, dass man zu \mathrm A ein beliebiges Wirbelfeld addieren kann, weil die Divergenz eines Vektors der Form \nabla\times{\mathrm V}({\mathrm r}, t) stets Null ergibt.)

Die inhomogenen Maxwell-Gleichungen in der Coulomb-Eichung[Bearbeiten]

Setzt man mit dieser Eichung die Potentiale in die sog. inhomogenen Maxwell-Gleichungen (das Gaußsches Gesetz und das erweiterte Induktionsgesetz) ein, erhält man

\triangle\Phi=-\frac{\rho}{\epsilon_0} und
\triangle\vec A-\frac{1}{c^2}\partial^2_t \vec A=-\mu_0\vec j+\frac{1}{c^2}\nabla\partial_t\Phi \,\,(=:\,-\mu_0\vec j_{eff}).

Die erste Gleichung wird durch

\Phi(\vec x,t)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\vec x^\prime,t)}{\left|\vec x-\vec x^\prime\right|}\mathrm{d}^3x^\prime

gelöst, also ist in dieser Eichung das Skalarpotential \Phi identisch mit dem Coulomb-Potential.

Die zweite Gleichung ist eine inhomogene Wellengleichung mit der durch die Methode des Retardierten Potentials gewonnenen Lösung:

\vec A(\vec r,t)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\vec j_{eff}(\vec x^\prime,t')}{\left|\vec x-\vec x^\prime\right|}\mathrm{d}^3x^\prime.

Dabei ist die retardierte Zeit gegeben durch t' := t-\frac{|\vec x-\vec x^\prime |}{c} .  Physikalisch entspricht die zuletzt angegebene Differenz der Zeitspanne, die ein Licht- oder Radarsignal braucht, um die Strecke vom Ausgangspunkt (dem Integrationpunkt) \vec x' der Signale zum Ankunftspunkt \vec x zu durchlaufen.

In der Nutzung zweier unterschiedlicher Zeiten im Integral - beim skalaren Potential t, beim Vektorpotential t'  - besteht der Hauptvorteil bzw. Hauptnachteil der angegebenen Eichung. Die konkurrierende Lorenz-Eichung hat diesen Nachteil nicht, sondern ist explizit relativistisch invariant, indem sie durchgehend die Retardierung berücksichtigt.

Sind keine Quellen (Ladungen und Ströme) vorhanden, vereinfachen sich die Gleichungen zu

\Phi=0 und
\triangle\vec A-\frac{1}{c^2}\partial^2_t \vec A=0,

das Vektorpotential erfüllt also die homogene Wellengleichung.

Literatur[Bearbeiten]

  •  John H. Jackson: Klassische Elektrodynamik. Walter de Gruyter Berlin New York, 2006, ISBN 9783110189704.