Dünne Linse

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Eine dünne Linse ist eine optische Linse kleiner Dicke. Die Krümmung ihrer Grenzflächen ist gering, so dass beide Flächen nahe beieinander liegen.

In der paraxialen Optik ist die dünne Linse ein Konzept, nach dem die endlich dicke reale Linse durch eine Ebene ersetzt wird. Die beiden Brechvorgänge von einem Lichtstrahl an den Grenzflächen werden zu einem Brechvorgang an dieser Ebene zusammengefasst. Wenn die reale Linse einen symmetrischen Querschnitt hat (z.B. bikonvex oder bikonkav), so wird ihre Mittelebene zur brechenden Ebene. Ein Lichtstrahl, der auf den Mittelpunkt der Ebene trifft, geht mit unveränderter Richtung und ohne Parallelversatz durch die Linse hindurch.

Das Konzept der dünnen Linse ist eine Idealisierung der endlich dicken realen Linse und eine gute Näherung bei großen Brennweiten. Die formale Reduktion auf eine Ebene bedeutet nicht, dass die Linse keinen Brechungsindex oder keine gekrümmten Grenzflächen hat, denn von beidem hängt ihre Brennweite ab.

Optische Abbildung mittels einer dünnen Linse[Bearbeiten]

Abbildung 1: Eine bikonvexe dünne Linse.

Die zwei Hauptebenen H_1 und H_2 eines allgemeinen optischen Systems fallen bei der dünnen Linse in ihrer Ersatzebene (Mittelebene) zusammen. Die dünne Linse hat nur eine Hauptebene H . Beide Brennweiten \overline{OF} und \overline{OF'} werden von der Hauptebene H aus gemessen. Die strahlenoptische Konstruktion der optischen Abbildung ist etwas einfacher und geschieht wie folgt.

Der Bildpunkt B' wird mit Hilfe von zwei der drei Hauptstrahlen Parallelstrahl (1), Mittelpunktstrahl (3) oder Brennpunktstrahl (2) (in Abbildung 1 von oben nach unten, Nummerierung bezieht sich auf Abbildung 2), die vom Gegenstandspunkt B ausgehen, gefunden. Die Strahlen werden nur einmal - nämlich an der Mittel/Haupt-Ebene - gebrochen (Strahl (3) bleibt ungebrochen). Der Parallelstrahl wird so gebrochen, dass er durch den bildseitigen Brennpunkt F' geht. Der Brennpunktstrahl geht durch den gegenstandsseitigen Brennpunkt F und wird an der Mittelebene so gebrochen, dass er zum Parallelstrahl auf der Bildseite wird.

Theorie für dicke Linsen[Bearbeiten]

Abbildung 2: Eine bikonvexe Linse mit Dicke d. Mit HauptebenenH_1 und H_2 auf die sich die Brennweiten f_1 und f_2 beziehen. Von links kommende Strahlen (durchgezogene rote Linien) werden zweimal gebrochen, an jeder sphärisch gekrümmten Grenzfläche. Die Hauptebenen gehen durch den Schnittpunkt der Verlängerung des Parallelstrahls der einen Seite und der Verlängerung des Brennpunktstrahls der anderen Seite (gestrichelte Linien 1 und 3).
Abbildung 3: Zur Herleitung der Linsengleichung

Im Folgenden wird die Theorie der dicken Linse dargestellt und durch einen Grenzübergang zu einer dünnen Linse die Linsengleichung hergeleitet.

Eine (dicke) Linse besteht aus einem durchsichtigen Material mit Brechungsindex n_2. Die Linse bildet mit seiner Umgebung zwei Grenzflächen. Im Normalfall ist die Umgebung Luft und damit der Brechungsindex n_1=1. Ein Lichtstrahl von links kommend (siehe Abbildung 2) wird an jeder der beiden Grenzflächen gemäß dem Snelliusschen Brechungsgesetz gebrochen. Um die Brennweite einer Linse zu berechnen werden die beiden Brechungen des Lichtstrahls sukzessive betrachtet.

Brechung an einer gekrümmten Fläche[Bearbeiten]

Zuerst wird die Brechung des Lichtstrahls an der linken Grenzfläche betrachtet (Abbildung 3).

Rein geometrisch gilt

h=R\sin\delta=(f_2-x)\tan\gamma'.

Für achsennahe Strahlen sind die Winkel \alpha'=\delta,\beta' klein und es gilt näherungsweise x\ll f_2 sowie \tan\gamma'\approx\sin\gamma'. Außerdem gilt \gamma'=\alpha'-\beta'. Dadurch ergibt sich

f_2\approx\left(\frac{\sin\alpha'}{\sin(\alpha'-\beta')}\right)R=f_2

Mit dem Snelliusschen Brechungsgesetz n_1\sin\alpha'=n_2\sin\beta' sowie \sin(\alpha'-\beta')=\sin\alpha'\cos\beta'-\cos\alpha'\sin\beta'\approx\sin\alpha'-\sin\beta' ergibt sich

f_2=R\left(\frac{n_2}{n_2-n_1}\right).

Die bildseitige Brennweite f_2 einer gekrümmten Grenzfläche für achsennahe Strahlen hängt demnach nur von den Brechungsindizes der beiden Materialien und der Krümmung der Fläche ab. Stellt man sich nun vor, dass das Licht von rechts kommend, nach links läuft und dann gebrochen wird, so kann man obige Formel auch anwenden. Die Brechungsindizes in der Formel müssen nun umgetauscht werden, da der Lichtstrahl aus dem Medium mit n_2 kommend nach n_1 läuft.

f_1=R\left(\frac{n_1}{n_1-n_2}\right)

f_1 wird gegenstandsseitige Brennweite genannt.

Es lässt sich nun auch eine Beziehung zwischen der Bildweite b und der Gegenstandsweite a herleiten.

Es gelten folgende Winkelbeziehungen: \alpha=\delta+\varepsilon sowie \beta=\delta-\gamma. Daher gilt in der Kleinwinkelnäherung für das Snelliusche Brechungsgesetz:

n_1(\delta+\varepsilon)\approx n_2(\delta-\gamma).

Außerdem gilt

h=(a+x)\tan\varepsilon\approx a\varepsilon
h=(b-x)\tan\gamma\approx b\gamma
h=R\sin\delta\approx R\delta.

Einsetzen in die Kleinwinkelnäherung des Snelliusschen Brechungsgesetzes, wobei alle Näherungen als Gleichungen behandelt werden, ergibt

\frac{n_1}{a}+\frac{n_2}{b}=\frac{n_2-n_1}{R}.

Die rechte Seite kann nun über die oben hergeleitete Brennweite ausgedrückt werden:

\frac{n_1}{a}+\frac{n_2}{b}=\frac{n_2}{f_2}=-\frac{n_1}{f_1}.

Brechung an einer dicken Linse[Bearbeiten]

Die Brechung von achsennahen Strahlen an einer Linse entspricht zwei nacheinander folgenden Brechungen an gekrümmten Grenzflächen. Es wird angenommen, dass das Licht von links einfällt. Wenn es sich um eine Konvexlinse handelt (in oberer Abbildung gezeigt), dann ist der Krümmungsradius der 1. Grenzfläche positiv, der Krümmungsradius R_2 der 2. Grenzfläche dagegen negativ. Bei einer Zerstreuungslinse (Konkavlinse) ist der Sachverhalt genau umgekehrt.

Für die zweite Brechung nimmt man das Bild der ersten Brechung als Gegenstand. Es ist a_1 die Gegenstandsweite der 1. Brechung und a_2 die Gegenstandsweite der 2. Brechung. Gleiche Vereinbarung gilt für die Bildweiten b_1, b_2 und die Krümmungsradien R_1>0,R_2<0.

Für die Bildweite b_1 nach der ersten Brechung gilt:

\frac{n_1}{a_1}+\frac{n_2}{b_1}=\frac{n_2-n_1}{R_1}.

Nun setzt man die Bildweite b_1 als Gegenstandsweite a_2 in die Formel für die 2. Brechung ein: a_2=-(b_1-d) mit d die Dicke der Linse (wie in der 1. Abbildung angegeben). Die Verschiebung um d muss durchgeführt werden, da die Herleitung oben davon ausgegangen ist, dass die gekrümmte Fläche durch den Ursprung geht. Natürlich müssen die Brechungsindizes wieder umgekehrt werden. Für die 2. Brechung gilt:

\frac{n_2}{a_2}+\frac{n_1}{b_2}=\frac{n_1-n_2}{R_2}.

Einsetzen von a_2=-(b_1-d) ergibt

-\frac{n_2}{b_1-d}+\frac{n_1}{b_2}=\frac{n_1-n_2}{R_2}.

Addition der beiden Brechungen ergibt:

\frac{n_1}{a_1}+\frac{n_2}{b_1}-\frac{n_2}{b_1-d}+\frac{n_1}{b_2}=\frac{n_2-n_1}{R_1}+\frac{n_1-n_2}{R_2}
\Leftrightarrow\frac{n_1}{a_1}+\frac{n_1}{b_2}=(n_2-n_1)\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)+\frac{n_2d}{b_1(b_1-d)}.

Dabei wird nun a_1 von der linken Seite der Linse und b_2 von der rechten Seite der Linse gezählt.

Näherung für dünne Linse[Bearbeiten]

Man kann nun die Gegenstandsweite a und die Bildweite b für die gesamte Linse einführen: a=a_1+d/2, b=b_2+d/2. Man bezeichnet eine Linse als dünn, wenn d\ll b_2 und d\ll a_1 gilt. Dadurch vereinfacht sich obige Formel zu

\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=(n_2-n_1)\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right).

Dies ist die wohlbekannte Linsengleichung und beschreibt die Abbildung achsennaher Strahlen mit einer dünnen Linse. Für achsenparallele Strahlen gilt a=\infty (der Gegenstand liegt im unendlichen). Auf der Bildseite müssen nun die Strahlen durch den Brennpunkt gehen. Daher ist die Brennweite f=b einer dünnen Linse:

f=\frac{1}{n_2-n_1}\left(\frac{R_1 R_2}{R_2-R_1}\right).

Für eine bikonvexe Linse mit R_1=R=-R_2 gilt

f=\frac{R}{2(n_2-n_1)}.

Einsetzen in die Abbildungsgleichung ergibt die Abbbildungsgleichung dünner Linsen

\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}.

Im Endeffekt wurde nun auch die Linsenschleiferformel hergeleitet:

\frac{1}{f}=(n_2-n_1)\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right).