Darstellungstheorie (Gruppentheorie)

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Die hier beschriebene Darstellungstheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das auf der Gruppentheorie aufbaut und ein Spezialfall der eigentlichen Darstellungstheorie ist, welche sich mit Darstellungen von Algebren beschäftigt.

Die Grundidee ist, die Elemente einer Gruppe durch Transformationen bestimmter mathematischer Objekte darzustellen.

Eine Darstellung ρ einer Gruppe G, auch Gruppendarstellung, ist ein Homomorphismus von G in die Automorphismengruppe Aut(W) einer gegebenen Struktur W. Die Gruppenverknüpfung in G entspricht dem Hintereinanderausführen von Automorphismen in W: ρ(gh)=ρ(g) ρ(h).

Eine lineare Darstellung ist eine Darstellung durch Automorphismen eines Vektorraums V. Eine lineare Darstellung ist somit ein Homomorphismus von G in die allgemeine lineare Gruppe GL(V). Wenn V ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K ist, dann besteht die Darstellung dementsprechend aus invertierbaren n×n-Matrizen mit Koeffizienten aus K. Die Vektorraumdimension n heißt Grad der Darstellung.

Oft wird der Begriff Darstellung im engeren Sinn von lineare Darstellung verwandt; eine Darstellung durch beliebige Automorphismen heißt dann Realisierung.

→ Formal und auch nach der Bezeichnung gehört die Permutationsdarstellung zu den hier definierten Darstellungen einer Gruppe: Hier ist die Struktur W eine endliche Menge, deren Automorphismengruppe also die Menge ihrer bijektiven Selbstabbildungen. Damit ist der Homomorphismus eine Gruppenoperation, auch die linearen Darstellungen sind spezielle Gruppenoperationen. Siehe zu Permutationsdarstellungen, die trotz des formalen Zusammenhangs keine Untersuchungsgegenstände der Darstellungstheorie sind, den Artikel Permutationsgruppe.

Glossar[Bearbeiten]

  • Eine Darstellung heißt treu, wenn der Darstellungshomomorphismus injektiv ist, wenn also verschiedene Gruppenelemente stets durch verschiedene Transformationen dargestellt werden.
  • Die triviale Darstellung \mathbf{1} \colon \  G \rightarrow \operatorname{GL}_1(K)=K^* \  ,  \ g \mapsto 1 (\forall g \in G) ist im Allgemeinen nicht treu.
  • Zwei lineare Darstellungen ρ1, ρ2 heißen äquivalent, wenn ihre Matrizen ähnlich sind, also die gleiche lineare Abbildung für unterschiedliche Basen darstellen. Das heißt, wenn es eine invertierbare Matrix S gibt, so dass für alle Gruppenelemente g gilt: ρ1(g) = S ρ2(gS-1.
  • Tritt in einem Kontext nur eine Darstellung \rho auf, so schreibt man statt \rho(g)(v) oft nur gv.
  • Sei V ein \mathbb{C}-Vektorraum. Die Darstellung  \rho \colon G \rightarrow \operatorname{GL}(V) heißt unitär, wenn auf V eine G-invariante, positiv definite Norm  \beta = \langle \ , \ \rangle existiert, d.h., wenn für \beta gilt:  \langle v,w \rangle =  \langle \rho(g)(v),\rho(g)(w) \rangle =  \langle gv,gw \rangle , \  \forall g\in G,\   \forall v,w \in V .
  • Sei \rho \colon G \rightarrow GL_K(V) eine Darstellung der Gruppe G auf dem K-Vektorraum V. Ein Unterraum U \subseteq V heißt G-invariant (genauer: \rho-invariant), falls gilt: \rho(g)(U)=gU \subseteq U \ , \  \forall g \in G.
  • Die Darstellung \rho (bzw. der Darstellungsraum V) heißt irreduzibel, falls es nur die beiden trivialen G-invarianten Unterräume 0(=\{0\}) und V(\not= 0) von V gibt. (Eine Hauptaufgabe der Darstellungstheorie ist die Klassifikation irreduzibler Darstellungen.) Insbesondere im nicht-halbeinfachen Fall und in der Betrachtungsweise als Moduln werden solche Darstellungen auch einfach genannt.
  • Ist \rho nicht irreduzibel, so heißt \rho reduzibel.
  • Ist \rho eine direkte Summe von irreduziblen Darstellungen von G, so heißt \rho vollständig reduzibel. Insbesondere ist jede irreduzible Darstellung vollständig reduzibel.
  • Lässt sich \rho nicht in eine nichttriviale direkte Summe von (nicht notwendigerweise irreduziblen) Darstellungen zerlegen, so heißt \rho unzerlegbar, ansonsten zerlegbar. (Man beachte, dass nur im Fall \operatorname{char}K \nmid \left| G \right| irreduzibel und unzerlegbar nach dem Satz von Maschke identisch sind.)
  • Ist \rho \colon G \rightarrow \operatorname{GL}_K(V) eine Darstellung, dann bezeichnet man als Zentrum Z(\rho) von \rho die Menge der KG-Endomorphismen von V, also:
Z(\rho)=\operatorname{End}_{KG}(V)=\{f \in \operatorname{End}_K(V)\  | \  f \circ \rho (g) = \rho (g) \circ f , \forall g \in G \} . Ist \rho eine Matrixdarstellung, also \rho \colon G \rightarrow \operatorname{GL}_n(K), \ g \mapsto R_g , dann gilt: Z(\rho)=\{A \in M_n(K) \ | \  A \cdot R_g=R_g \cdot A \ \forall g \in G \} . Nach dem Lemma von Schur ist das Zentrum für irreduzible Darstellungen ein Schiefkörper. Die Umkehrung gilt im Falle eines Körpers K von Charakteristik 0 und einer endlichen Gruppe G auch, so dass Z(\rho) genau dann ein Schiefkörper ist, wenn \rho irreduzibel ist.

Anwendungen[Bearbeiten]

Lineare Darstellungen ermöglichen es, Eigenschaften einer Gruppe mit den Mitteln der linearen Algebra zu untersuchen; das ist nützlich, weil die lineare Algebra, im Gegensatz zur Gruppentheorie, ein kleines, abgeschlossenes und bestens verstandenes Gebiet ist.

Darstellungen endlicher Gruppen ermöglichen es in der Molekülphysik und Kristallographie, die Auswirkungen vorhandener Symmetrien auf messbare Eigenschaften eines Materials mit Hilfe eines rezeptmäßigen Kalküls zu bestimmen.

Beispiel[Bearbeiten]

Sei G die zyklische Gruppe C3, also die Menge {0,1,2} mit der Addition modulo 3 als Gruppenverknüpfung.

Die Abbildung τ: GC, die den Gruppenelementen g Potenzen τ(g) = ug der komplexen Zahl u = exp(2πi/3) zuordnet, ist eine treue lineare Darstellung vom Grad 1. Der Gruppeneigenschaft g3 = e entspricht die Eigenschaft u3 = 1. Die durch die Darstellung erzeugte multiplikative Gruppe τ(C3) = {1, u, u2} ist isomorph zur dargestellten Gruppe C3.

Eine solche Isomorphie liegt ebenfalls vor bei der treuen linearen Darstellung vom Grad 2, die gegeben ist als


\rho(0)=\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix},
\qquad
\rho(1)=\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & u \\
\end{bmatrix},
\qquad
\rho(2)=\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & u^2 \\
\end{bmatrix}.

Diese Darstellung ist äquivalent zu einer Darstellung durch die folgenden Matrizen:


\rho'(0)=
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix},
\qquad
\rho'(1)=
\begin{bmatrix}
u & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix},
\qquad
\rho'(2)=
\begin{bmatrix}
u^2 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}.

Die Darstellungen ρ und ρ´ sind reduzibel: sie bestehen aus der direkten Summe der zuvor beschriebenen Darstellung gug und der untreuen Darstellung g→1.

Eine reelle Darstellung dieser Gruppe erhält man, indem man der 1 die Drehung der reellen Ebene um 120 Grad zuordnet. Diese Darstellung ist über den reellen Zahlen irreduzibel. Lässt man die 1 entsprechend als 120 Grad Drehung auf der komplexen Ebene \mathbb C^2 operieren, so erhält man eine reduzible Darstellung, die zu der oben betrachteten Darstellung \rho isomorph ist.

Charakter[Bearbeiten]

Hauptartikel: Charakter (Mathematik)

Der Charakter der endlichdimensionalen Darstellung \rho: G\to \mathrm{GL}(V) ist die Funktion \chi_{\rho}:G\to K, die durch


\chi_{\rho}(g) \ =\ \operatorname{tr}(\rho(g))\ =\  \sum_{j=1}^{\dim(V)}\rho_{jj}(g)

definiert ist. Dabei sind \rho_{jj} die Matrixelemente in einer beliebigen (aber festen) Basis von V. Die Spur \operatorname{tr} ist basisunabhängig. Es gelten folgende Eigenschaften:

  • Für eine endliche Gruppe G sind zwei Darstellungen \rho und \rho' bereits dann äquivalent, falls \chi_\rho = \chi_{\rho'} gilt und der Grundkörper die Charakteristik 0 hat.
  • \chi(g) = \chi(hgh^{-1}) weil tr(AB) = tr(BA). Deshalb ist \chi auf den Konjugationsklassen konstant.
  • \chi(1_G) = \dim(V), direkt aus Spur ersichtlich
  • \chi_{\rho\oplus \rho'}= \chi_\rho + \chi_{\rho'}

Mithilfe von Charakteren lässt sich überprüfen, ob eine Darstellung irreduzibel ist: Eine Darstellung einer endlichen Gruppe G über einem algebraisch abgeschlossenen Körper K der Charakteristik 0 ist genau dann irreduzibel, wenn (\chi,\chi)=1 gilt. Hierbei ist das unitäre Skalarprodukt (u,v) zweier Funktionen u,v:G\to K definiert durch \textstyle (u,v)=\frac{1}{\left|G\right|}\sum_{g\in G}u\left(g^{-1}\right)v\left(g\right). (Im Falle K=\mathbb C kann man in dieser Formel den Term u\left(g^{-1}\right) auch durch \overline{u\left(g\right)} ersetzen.)

Vollständig reduzible Darstellungen endlicher Gruppen zerfallen in irreduzible Darstellungen und können somit „ausreduziert“ werden. Dabei kann man die Darstellungen aus den Charakteren erschließen; man kann dazu die Charaktertafel einer Darstellung aufstellen und bestimmte Orthogonalitätsrelationen der mit den Zeilen- bzw. Spaltenvektoren dieser Tafeln gebildeten unitären Skalarprodukte ausnutzen.

Anwendung[Bearbeiten]

Eine Anwendung des Konzepts der Ausreduzierung eines „Produkts“ (besser: Tensorprodukts) zweier nicht notwendig verschiedener Darstellungen derselben Gruppe ergibt die Clebsch-Gordan-Koeffizienten der Drehimpulsphysik, die in der Quantenmechanik wichtig sind.

Taxonomie[Bearbeiten]

Darstellungen können nach zwei Gesichtspunkten klassifiziert werden: (1) nach der Struktur der Zielmenge W, auf die die Darstellungen wirken; und (2) nach der Struktur der dargestellten Gruppe.

Einteilung nach Zielmengen[Bearbeiten]

Eine mengentheoretische Darstellung ist ein Homomorphismus der darzustellenden Gruppe auf die Permutationsgruppe Sym(M) einer beliebigen Menge M; siehe dazu auch den Satz von Cayley.

Eine lineare Darstellung ist durch ihre Dimension n und durch den Körper K charakterisiert. Neben den komplexen und reellen Zahlen kommen hier die endlichen und p-adischen Körper in Betracht.

Eine lineare Darstellung einer endlichen Gruppe über einem Körper der Charakteristik p>0 heißt eine modulare Darstellung, falls p ein Teiler der Gruppenordnung ist.

Darstellungen in Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe GL(V) zeichnen sich dadurch aus, dass sie gewisse Strukturen des Vektorraums V erhalten. Zum Beispiel erhält eine unitäre Darstellung, also eine Darstellung in die unitäre Gruppe U(V), das Skalarprodukt, siehe auch Hilbertraum-Darstellung.

Einteilung nach dargestellter Gruppe[Bearbeiten]

Einfachster Fall ist die Darstellung einer endlichen Gruppe.

Viele Ergebnisse in der Darstellungstheorie endlicher Gruppen werden durch Mittelung über die Gruppe erzielt. Diese Ergebnisse können auf unendliche Gruppen übertragen werden, sofern die topologischen Voraussetzungen gegeben sind, um ein Integral zu definieren. Dies ist vermittels des Haar-Maßes in lokalkompakten Gruppen möglich. Die daraus resultierende Theorie spielt eine zentrale Rolle in der harmonischen Analyse. Die Pontrjagin-Dualität beschreibt diese Theorie im Spezialfall abelscher Gruppen als verallgemeinerte Fourier-Transformation.

Viele wichtige Lie-Gruppen sind kompakt, so dass die genannten Ergebnisse übertragbar sind; die Darstellungstheorie ist von entscheidender Bedeutung für die Anwendungen dieser Lie-Gruppen in Physik und Chemie.

Für nicht-kompakte Gruppen gibt es keine abgeschlossene Darstellungstheorie. Eine umfassende Theorie ist für halb-einfache Lie-Gruppen ausgearbeitet worden. Für die komplementären auflösbaren Lie-Gruppen gibt es keine vergleichbare Klassifikation.

Literatur[Bearbeiten]

  • Jean-Pierre Serre: Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag, New York 1977, ISBN 3540901906.
  • William Fulton, Joe Harris: Representation theory. A first course. Springer-Verlag, New York, 1991, ISBN 0-387-97527-6