De-Sitter-Raum

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In Mathematik und Physik ist ein n-dimensionaler De-Sitter-Raum (nach Willem de Sitter), notiert dS_n, die lorentzsche Mannigfaltigkeit analog zu einer n-Sphäre (mit ihrer kanonischen riemannschen Mannigfaltigkeit); er ist maximal symmetrisch, hat eine konstante positive Krümmung und ist einfach zusammenhängend für n \geq 3.

Im vierdimensionalen Minkowski-Raum (3 Raumdimensionen plus die Zeit) bzw. in der Raumzeit ist der De-Sitter-Raum das Analogon zu einer Kugel im gewöhnlichen euklidischen Raum.

In der Sprache der allgemeinen Relativitätstheorie ist der De-Sitter-Raum die maximal symmetrische Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen mit einer positiven (repulsiven) kosmologischen Konstanten \Lambda (entsprechend einer positiven Vakuumenergiedichte und negativem Druck) und damit ein kosmologisches Modell für das physikalische Universum; siehe De-Sitter-Modell.

Der De-Sitter-Raum wurde von Willem de Sitter entdeckt und gleichzeitig – unabhängig von de Sitter – von Tullio Levi-Civita.

Seit einiger Zeit wird anstelle des Minkowski-Raumes der De-Sitter-Raum als grundlegender Raum für die spezielle Relativitätstheorie vorgeschlagen. Eine solche Formulierung wird De-Sitter-Relativität genannt.[1]

Definition[Bearbeiten]

Der De-Sitter-Raum kann definiert werden als Untermannigfaltigkeit eines Minkowski-Raumes einer höheren Dimension.

Betrachtet man also den Minkowski-Raum \R^{1,n} mit dem üblichen metrischen Tensor

ds^2 = -dx_0^2 + \sum_{i=1}^n dx_i^2.

Dann ist der De-Sitter-Raum die Untermannigfaltigkeit, die durch das einschalige Hyperboloid

\alpha^2 = -x_0^2 + \sum_{i=1}^n x_i^2 ,

beschrieben wird, wobei \alpha eine positive Konstante ist mit der Dimension einer Länge. Der metrische Tensor des De-Sitter-Raumes ist derjenige, der vom metrischen Tensor des Minkowski-Raumes erzeugt wird. Man kann überprüfen, dass die erzeugte Metrik nicht-entartet ist und eine Signatur der Form (1,k,0) hat. (Wenn in obiger Definition \alpha^2 durch -\alpha^2 ersetzt wird, erhält man ein zweischaliges Hyperboloid. In diesem Fall ist die erzeugte Metrik positiv definit, und jede der beiden Schalen ist eine Kopie einer hyperbolischen n-Geometrie.)

Der De-Sitter-Raum kann auch definiert werden als Quotient \frac{\mathrm O(1,n)}{\mathrm O(1,n-1)} zweier Lorentz-Gruppen, was zeigt, dass er ein nicht-Riemannscher symmetrischer Raum ist.

Topologisch ist der De-Sitter-Raum von der Form \R \times S^{n-1}.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Isometriegruppe des De-Sitter-Raumes ist die Lorentz-Gruppe \mathrm O(1,n). Daher hat die Metrik \tfrac{n(n+1)}{2} unabhängige Killing-Vektoren und ist maximal symmetrisch. Jeder maximal symmetrische Raum hat konstante Krümmung. Der Riemannsche Krümmungstensor R_{\rho\sigma\mu\nu} des De-Sitter-Raumes ist

R_{\rho\sigma\mu\nu} = {1\over \alpha^2}(g_{\rho\mu}g_{\sigma\nu} - g_{\rho\nu}g_{\sigma\mu}).

Der De-Sitter-Raum ist eine Einstein-Mannigfaltigkeit, da der Ricci-Tensor R_{\mu\nu} proportional zur Metrik g_{\mu\nu} ist:

R_{\mu\nu} = \frac{n-1}{\alpha^2} \cdot g_{\mu\nu}.

Das heißt, der De-Sitter-Raum ist eine Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen mit kosmologischer Konstante

\Lambda = \frac{n-1}{\alpha^2} \cdot \frac{n-2}{2}.

Das Krümmungsskalar dieses Raumes ist

R = \frac{n(n-1)}{\alpha^2} = \frac{2n}{n-2}\Lambda.

Für n = 4 ergibt sich Λ = 3/α2 und R = 4Λ = 12/α2.

Statische Koordinaten[Bearbeiten]

Für den De-Sitter-Raum lassen sich statische Koordinaten (Zeit t, Radius r, …) wie folgt einführen:

x_0 = \sqrt{\alpha^2-r^2} \cdot \sinh(t/\alpha)
x_1 = \sqrt{\alpha^2-r^2} \cdot \cosh(t/\alpha)
x_i = r z_i mit 2 \le i \le n ,

wobei z_i die Standard-Einbettung der Sphäre S^{n-2} in Rn−1 darstellt.

In diesen Koordinaten nimmt die De-Sitter-Metrik folgende Form an:

ds^2 = -\left(1-\frac{r^2}{\alpha^2}\right)dt^2 + \left(1-\frac{r^2}{\alpha^2}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega_{n-2}^2.

Zu beachten: es gibt einen kosmologischen Horizont bei r = \alpha.

Slicing-Koordinaten[Bearbeiten]

flach[Bearbeiten]

Ansatz:

x_0 = \alpha \sinh(t/\alpha) + r^2 e^{t/\alpha}/2\alpha
x_1 = \alpha \cosh(t/\alpha) - r^2 e^{t/\alpha}/2\alpha
x_i = e^{t/\alpha}y_i mit 2 \leq i \leq n,

wobei r^2 = \sum_i y_i^2.

Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes in (t,y_i)-Koordinaten:

ds^{2} = -dt^{2} + e^{2t/\alpha} \cdot dy^{2}

mit dy^2 = \sum_i dy_i^2 der flachen Metrik auf y_i.

geschlossen[Bearbeiten]

Ansatz:

x_0 = \alpha \sinh(t/\alpha)
x_i = \alpha \cosh(t/\alpha) \cdot z_i mit 1 \leq i \leq n,

wobei die z_i eine S^{n-1}-Sphäre beschreiben.

Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes:

ds^2 = -dt^2 + \alpha^2 \cosh^2(t/\alpha) \cdot d\Omega_{n-1}^2.

Wird die Zeit-Variable t geändert in die konforme Zeit \eta:

\begin{align}
                \tanh(t/\alpha) & = \tan(\eta)\\
\Leftrightarrow \cosh(t/\alpha) & = 1/\cos(\eta),
\end{align}

so erhält man eine Metrik, die konform äquivalent zum statischen Einstein-Universum ist:

ds^2 = \frac{\alpha^2}{\cos^2\eta}(-d\eta^2 + d\Omega_{n-1}^2).

So findet man das Penrose-Diagramm des De-Sitter-Raumes.

offen[Bearbeiten]

Ansatz:

x_0 = \alpha \sinh(t/\alpha) \cosh\xi
x_1 = \alpha \cosh(t/\alpha)
x_i = \alpha \sinh(t/\alpha) \sinh\xi \cdot z_i mit 2 \leq i \leq n,

wobei \sum_i z_i^2 = 1 eine Sphäre S^{n-2} formt mit der Standard-Metrik \sum_i dz_i^2 = d\Omega_{n-2}^2.

Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes

ds^2 = -dt^2 + \alpha^2 \sinh^2(t/\alpha) \cdot dH_{n-1}^2,

mit dH_{n-1}^2 = d\xi^2 + \sinh^2\xi \cdot d\Omega_{n-2}^2 der Metrik eines hyperbolischen euklidischen Raumes.

dS[Bearbeiten]

Ansatz:

x_0 = \alpha \sinh(t/\alpha) \cosh\xi \sin(\chi/\alpha)
x_1 = \alpha \cos(\chi/\alpha)
x_2 = \alpha \cosh(t/\alpha) \sin(\chi/\alpha)
x_i = \alpha \sinh(t/\alpha) \sinh\xi \sin(\chi/\alpha) z_i mit 3 \leq i \leq n

wobei die z_i eine S^{n-3}-Sphäre beschreiben.

Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes:

ds^2 = d\chi^2 + \sin^2(\chi/\alpha) \cdot ds_{dS,\alpha,n-1}^2,

wobei

ds_{dS,\alpha,n-1}^2 = -dt^2 + \alpha^2 \sinh^2(t/\alpha) \cdot dH_{n-2}^2

die Metrik eines n-1-dimensionalen De-Sitter-Raumes in offenen Slicing-Koordinaten ist, mit Krümmungsradius \alpha.

Die hyperbolische Metrik lautet:

dH_{n-2}^2 = d\xi^2 + \sinh^2\xi \cdot d\Omega_{n-3}^2.

Dies ist die analytische Fortsetzung der offenen Slicing-Koordinaten

(t,\xi,\theta,\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{n-3}) \to (i\chi,\xi,it,\theta,\phi_1,\cdots,\phi_{n-4})

und außerdem der Tausch von x_0 und x_2, weil sie ihre zeit- bzw. raumartigen Eigenschaften verändern.

Nachweise[Bearbeiten]

  1. R. Aldrovandi, J. G. Pereira, de Sitter Relativity: a New Road to Quantum Gravity?, arxiv.org, 2007

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  •  W. de Sitter: On the relativity of inertia: Remarks concerning Einstein's latest hypothesis. In: Proc. Kon. Ned. Acad. Wet.. 19, 1917, S. 1217–1225.
  •  W. de Sitter: On the curvature of space. In: Proc. Kon. Ned. Acad. Wet.. 20, 1917, S. 229–243.
  •  Tullio Levi-Civita: Realtà fisica di alcuni spazî normali del Bianchi. In: Rendiconti, Reale Accademia Dei Lincei. 26, 1917, S. 519–31.
  •  K. Nomizu: The Lorentz-Poincaré metric on the upper half-space and its extension. In: Hokkaido Mathematical Journal. 11, Nr. 3, 1982, S. 253–261.
  •  H. S. M. Coxeter: A geometrical background for de Sitter's world. In: Mathematical Association of America (Hrsg.): American Mathematical Monthly. 50, Nr. 4, 1943, S. 217–228, doi:10.2307/2303924 (JSTOR 2303924).
  •  L. Susskind, J. Lindesay: An Introduction to Black Holes, Information and the String Theory Revolution: The Holographic Universe. 2005, S. 119(11.5.25).
  •  Qingming Cheng: De Sitter space. Springer.