Dedekindsche Psi-Funktion

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Die Dedekindsche ψ-Funktion ist eine von mehreren nach Richard Dedekind benannten zahlentheoretischen Funktionen. Es handelt sich um eine multiplikative Funktion, sie ist durch

\forall\ n\in\Z^{+}\colon \psi(n)=n\cdot\prod_{p|n \atop p\in\mathbb P}\left(1+\frac1p\right)

definiert. Das Produkt erstreckt sich über alle Primteiler von n.

Werte[Bearbeiten]

Nach Definition des leeren Produkts ist

\psi(1)=1.

Für die nächsten beiden natürlichen Zahlen ergibt sich:

\psi(2)=2\left(1+\frac12\right)=3
\psi(3)=3\left(1+\frac13\right)=4

Die Folge der Funktionswerte geht weiter mit 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24, ….[1]

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Die ψ-Funktion nimmt nur positive natürliche Zahlen als Werte an. Für alle hinreichend großen n ist \psi(n) größer als n und gerade:
\psi(n)>n \qquad\qquad\qquad\mathrm{f\ddot ur\; alle}\, n>1
\psi(n)\equiv 0\mod 2\; \qquad\mathrm{f\ddot ur\; alle}\,n>2
\psi(p)=p+1=\varphi(p)+2
Dabei ist \varphi die Eulersche Phi-Funktion, die für jede positive natürliche Zahl n die Anzahl \varphi(n) der zu n teilerfremden natürlichen Zahlen angibt, die nicht größer als n sind.
  • Die ψ-Funktion kann auch durch
\psi(p^k)=(p+1)\cdot p^{k-1}
für Potenzen von Primzahlen p mit positiven natürlichen Hochzahlen k und der Festlegung, dass \psi multiplikativ ist, charakterisiert werden. Der Wert \psi(n) für ein beliebiges n ergibt sich dann aus der Primfaktorzerlegung von n.
\sum_n \frac{\psi(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s) \zeta(s-1)}{\zeta(2s)}

Weblinks[Bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten]

  1. Folge A001615 in OEIS