Dedekindscher Schnitt

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Ein Dedekindscher Schnitt ist in der Mathematik eine Teilmenge der rationalen Zahlen, mit der sich eine reelle Zahl darstellen lässt. Auf diese Weise kann man die reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen konstruieren. Benannt ist diese „Methode der Dedekindschen Schnitte“ nach dem deutschen Mathematiker Richard Dedekind. Sie kann allgemein zur Vervollständigung von Ordnungen verwendet werden, die wie die rationalen Zahlen in sich dicht liegen. Auch bei dieser Verallgemeinerung der Methode sind die Bezeichnungen üblich, die in diesem Artikel definiert und benutzt werden.

Eine Teilmenge α der rationalen Zahlen ist genau dann ein Dedekindscher Schnitt, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

• α ist nicht leer und .
• α ist nach unten abgeschlossen, das heißt wenn und , dann ist auch .
• α enthält kein größtes Element, das heißt für jedes gibt es ein mit p < r.

Inhaltsverzeichnis 1 Konstruktion der reellen Zahlen 1.1 Ordnung 1.2 Addition 1.3 Multiplikation 2 Verallgemeinerungen 3 Siehe auch

[Bearbeiten] Konstruktion der reellen Zahlen

Sei die Menge der Dedekindschen Schnitte. Einer Zahl ordnet man den Dedekindschen Schnitt zu.

Seien α und β zwei Dedekindsche Schnitte.

[Bearbeiten] Ordnung

α < β genau dann, wenn α echte Teilmenge von β ist.

Dies definiert eine strenge Totalordnung auf . Diese ist sogar (nach Konstruktion) ordnungsvollständig.

[Bearbeiten] Addition

.

Man kann zeigen, dass dies tatsächlich eine Addition, also eine kommutative, assoziative Verknüpfung, definiert und dass es zu jedem Dedekindschen Schnitt α ein additiv inverses Element − α gibt. Des Weiteren fällt die Definition dieser Addition mit der bereits bekannten Addition auf Q in Q zusammen.

[Bearbeiten] Multiplikation

Falls sowohl α > 0 ^* als auch β > 0 ^* dann ist

.

Diese Multiplikation kann man auf ganz ausdehnen indem man

α0 ^* = 0 ^* α = 0 ^*

und

definiert. Auch diese Multiplikation ist assoziativ, kommutativ und es gibt zu jedem ein Inverses a ^{− 1}. Zudem fällt diese Multiplikation auch mit der auf Q zusammen sind, falls die Faktoren rational sind.

[Bearbeiten] Verallgemeinerungen

• Eine zu den Dedekindschen Schnitten sehr ähnliche Methode wird zur Konstruktion der surrealen Zahlen benutzt.
• Jede (in sich) dichte strenge Totalordnung (M,<) lässt sich mit Hilfe von Dedekindschen Schnitten (auf M statt ) in eine ordnungsvollständige Ordnung N einbetten. Im Sinne der Ordnungstheorie ist eine total geordnete Menge in sich dicht geordnet, wenn zwischen zwei verschiedenen Elementen stets ein drittes liegt. Ob und wie sich andere auf M vorhandene Strukturen (wie hier die Verknüpfungen Addition und Multiplikation) „sinnvoll“ auf N fortsetzen lassen, hängt vom speziellen Anwendungsfall ab.

[Bearbeiten] Siehe auch

• Cauchy-Folge