Dehn-Chirurgie

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In der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist Dehn-Chirurgie ein auf Max Dehn zurückgehendes Verfahren zur Konstruktion 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten.

Definition[Bearbeiten]

Sei M eine 3-Mannigfaltigkeit und t:\mathbb D^2\times S^1\rightarrow M eine Einbettung mit Bild U. Sei (\begin{array}{cc}a&b\\
c&d\end{array})\in SL(2,\mathbb Z) eine ganzzahlige Matrix. Man hefte S^1\times \mathbb D^2 an M\setminus U an, indem man (z,w)\in S^1\times S^1\subset S^1\times\mathbb D^2 mit t(z^aw^b,z^cw^d) identifiziert.[1]

Man kann zeigen, dass die so konstruierte Mannigfaltigkeit M_K(-\frac{b}{d}) bis auf Homöomorphie nur vom Knoten K=t(0\times S^1) und den Zahlen b,d (nicht von a,c) abhängt. Man bezeichnet M_K(-\frac{b}{d}) als die durch Dehn-Chirurgie am Knoten K mit Koeffizienten -\frac{b}{d} erhaltene Mannigfaltigkeit.

Entsprechend kann man für eine Verschlingung L=K_1\cup\ldots\cup K_n\subset M eine Mannigfaltigkeit M_L(-\frac{b_1}{d_1},\ldots,\frac{b_n}{d_n}) durch Hintereinanderausführung (in beliebiger Reihenfolge) der Dehn-Chirurgien mit Koeffizienten -\frac{b_i}{d_i} an den Knoten K_i, i=1\ldots,n definieren.

Konstruktion von 3-Mannigfaltigkeiten (Satz von Lickorish-Wallace)[Bearbeiten]

Jede geschlossene, orientierbare, zusammenhängende 3-Mannigfaltigkeit kann durch Dehn-Chirurgie an einem Link L\subset S^3 in der 3-Sphäre konstruiert werden. Man kann sogar erreichen, dass alle Komponenten von L unverknotet und dass alle Koeffizienten -\frac{b_i}{d_i}=\pm 1 sind.[2][3]

Konstruktion hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten (Satz von Thurston)[Bearbeiten]

Wenn M\setminus K eine vollständige hyperbolische Metrik von endlichem Volumen trägt, dann sind fast alle durch Dehn-Chirurgie an K erzeugten Mannigfaltigkeiten ebenfalls hyperbolisch.[4]

Für den Achterknoten gibt es 10 exzeptionelle (das heißt: nicht-hyperbolische) Dehn-Chirurgien. Lackenby und Meyerhoff haben bewiesen, dass für jeden Knoten die Anzahl exzeptioneller Dehn-Chirurgien höchstens 10 ist.[5]

Belege[Bearbeiten]

  1. tom Dieck, Tammo: Algebraic topology. EMS Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2008. ISBN 978-3-03719-048-7
  2. Wallace, Andrew H.: Modifications and cobounding manifolds. Canad. J. Math. 12 1960 503–528.
  3. Lickorish, W. B. R.: A representation of orientable combinatorial 3 -manifolds. Ann. of Math. (2) 76 1962 531–540.
  4. Thurston, W.P.: The Geometry and Topology of Three-Manifolds
  5. Lackenby, Marc; Meyerhoff, Robert: The maximal number of exceptional Dehn surgeries. Invent. Math. 191 (2013), no. 2, 341–382.pdf