Deligne-Kohomologie

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Die Deligne-Kohomologie wird in der Mathematik, speziell der Algebraischen Geometrie, zur Konstruktion sekundärer charakteristischer Klassen genutzt. Sie wurde um 1972 von Pierre Deligne eingeführt (unveröffentlicht).

Definition[Bearbeiten]

Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit und \Omega_{\C} die Garbe der komplexwertigen Differentialformen. Für ein n\in\N ist der Deligne-Komplex definiert durch

{\mathcal{D}}(n):= \operatorname{Cone}(\Z\oplus\sigma^{\ge n}\Omega_{\C}\rightarrow\Omega_{\C})\left[-1\right].

Hierbei ist \sigma^{\ge n}\Omega_{\C} der Kokettenkomplex mit  (\sigma^{\ge n}\Omega_{\C})^k=0 für k<n und (\sigma^{\ge n}\Omega_{\C})^k=\Omega_{\C} für k\ge n, der Kegel \operatorname{Cone}(\Z\oplus\sigma^{\ge n}\Omega_{\C}\rightarrow\Omega_{\C}) ist der Abbildungskegel der durch die Inklusionen von Garben \Z\rightarrow \C und \sigma^{\ge n}\Omega_{\C}\rightarrow\Omega_{\C} gegebenen Kettenabbildung und A\left[-1\right] bezeichnet den Kettenkomplex mit A\left[-1\right]^n=A^{n-1}.

Die n-te Deligne-Kohomologie ist

\hat{H}^n_{Del}(M;\Z):=H^n(M;{\mathcal{D}}(n)).

Man beachte, dass für unterschiedliche n unterschiedliche Komplexe verwendet werden.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Lange exakte Sequenz[Bearbeiten]

\hat{H}^n_{Del}(M;\Z) past in eine exakte Sequenz

 \rightarrow H^{n-1}(M;\Z)\rightarrow H^{n-1}_{dR}(M;\C)\rightarrow \hat{H}^n_{Del}(M;\Z)\rightarrow H^n(M;\Z)\oplus \Omega^n_{cl}(M;\C)\rightarrow H^n_{dR}(M;\C)\rightarrow.

Hierbei bezeichnet \Omega^*_{cl} die geschlossenen Differentialformen und H^*_{dR} die de-Rham-Kohomologie.

Weiter ist

H^{n-1}(M;\C/\Z)\simeq \ker(\hat{H}^n_{Del}(M;\Z)\rightarrow \Omega^n_{cl}(M))

und die Komposition

H^{n-1}(M;\C/Z)\rightarrow \hat{H}^n_{Del}(M;\Z)\rightarrow H^n(M;\Z)

ist das negative des Bockstein-Homomorphismus der kurzen exakten Sequenz 0\rightarrow\Z\rightarrow\C\rightarrow\C/\Z\rightarrow 0.

Insbesondere gilt für (n-1)-dimensionale, geschlossene, orientierbare Mannigfaltigkeiten:

\hat{H}^n_{Del}(M;\Z)\simeq H^{n-1}_{dR}(M;\C)/\operatorname{im}(H^{n-1}(M;\Z)\rightarrow H^{n-1}(M;\C))\simeq \C/\Z.

Produktstruktur[Bearbeiten]

Es gibt ein eindeutig bestimmtes Produkt \cup, so dass \hat{H}^*_{Del}(M;\Z) zu einem gradierten kommutativen Ring mit folgenden Eigenschaften wird:

  • für jede glatte Abbildung f:M^\prime\rightarrow M ist f^*:\hat{H}^*_{Del}(M;\Z)\rightarrow \hat{H}^*_{Del}(M^\prime;\Z) ein Ringhomomorphismus
  • für alle M ist R:\hat{H}^*_{Del}(M;\Z)\rightarrow\Omega^*_{cl}(M;\C) ein Ringhomomorphismus
  • für alle M ist I:\hat{H}^*_{Del}(M;\Z)\rightarrow H^*(M;\Z) ein Ringhomomorphismus
  • für a:H^{*-1}_{dR}(M;\C)\rightarrow \hat{H}^*_{Del}(M;\Z) und für alle x\in \hat{H}^*_{Del}(M;\Z), \alpha\in H^*_{dR}(M;\C) gilt
a(\alpha)\cup x=a(\alpha\wedge R(x)).

Hierbei sind R, I, a die Homomorphismen aus der obigen langen exakten Sequenz.

Anwendung: Sekundäre charakteristische Klassen[Bearbeiten]

Komplexe Vektorbündel[Bearbeiten]

Jedem komplexen Vektorbündel V mit Zusammenhangsform \nabla über einer Mannigfaltigkeit M kann man (für Bündelabbildungen auf natürliche Weise) Klassen \hat{c}_i(\nabla)\in \hat{H}^{2i}_{Del}(M;\Z) zuordnen, so dass der Homomorphismus (aus der obigen exakten Sequenz)

 \hat{H}^n_{Del}(M;\Z)\rightarrow H^n(M;\Z)\oplus \Omega^n_{cl}(M;\C)

\hat{c}_i(\nabla) auf (c_i(V),c_i(\nabla)) abbildet, wobei c_i(\nabla) die i-te Chernform und c_i(V) die i-te Chernklasse – deren Bild in H^{2i}(M;\C) gerade die de-Rham-Kohomologieklasse von c_i(\nabla) ist – bezeichnet.

Falls \nabla ein flacher Zusammenhang auf einem trivialisierbaren Vektorbündel ist, erhält man

\hat{c}_i(\nabla)\in \ker(\hat{H}^n_{Del}(M;\Z)\rightarrow H^n(M;\Z)\oplus \Omega^n_{cl}(M;\C)\simeq H^{n-1}_{dR}(M;\C)/\operatorname{im}(H^{n-1}(M;\Z)\rightarrow H^{n-1}(M;\C)).

Falls zusätzlich \dim(M)=n-1 ist, definiert

\hat{c}_i(\nabla)\in H^{n-1}_{dR}(M;\C)/\operatorname{im}(H^{n-1}(M;\Z)\rightarrow H^{n-1}(M;\C))\simeq \C/\Z

die Chern-Simons-Invariante von \nabla.

Reelle Vektorbündel[Bearbeiten]

Für ein reelles Vektorbündel mit Zusammenhang \nabla definiere

\hat{p}_i(\nabla):=(-1)^i\hat{c}_{2i}(\nabla\otimes \C)\in \hat{H}^{4i}_{Del}(M;\Z).

Für eine (4n-1)-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit (M,g) betrachte den Levi-Civita-Zusammenhang \nabla und definiere die (Riemannsche) Chern-Simons-Invariante durch

CS(M,g):=\hat{p}_n(\nabla)\in \hat{H}^{4n}_{Del}(M;\Z)\simeq\C/\Z.

CS(M,g) ist eine konforme Invariante.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]