Deltoidalikositetraeder

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3D-Ansicht eines Deltoidalikositetraeders (Animation)
Konstruktion des Deltoids am Rhombenkuboktaeder
Topologisch gleichwertig zum Deltoidalikositetraeder ist dieser dreifach geschnittene Würfel

Das Deltoidalikositetraeder (auch Deltoidikositetraeder genannt) ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 24 Deltoiden zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum Rhombenkuboktaeder und hat 26 Ecken sowie 48 Kanten.

In der Kristallographie und Mineralogie wird das Deltoidalikositetraeder oft (verkürzt) als Ikositetraeder bezeichnet, daneben auch als Trapezoeder oder Leucitoeder (es ist die typische Kristallform des Leucits).

Entstehung[Bearbeiten]

  • Werden auf die 14 Begrenzungsflächen eines Kuboktaeders quadratische sowie dreieckige Pyramiden mit der Flankenlänge a und b aufgesetzt, entsteht ein allgemeines Deltoidalikositetraeder, sofern a > \tfrac{e}{2} \sqrt{2} und  b > \tfrac{e}{3} \sqrt{3} sind. Das einbeschriebene Kuboktaeder hat dabei die Kantenlänge e (d. i. eine Diagonale des Drachenvierecks, s. u.).
  • Durch Verbinden der Mittelpunkte vierer Kanten, die in jeder Raumecke des Rhombenkuboktaeders zusammenstoßen, entsteht ein Trapez, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Deltoids, der Begrenzungsfläche des Deltoidalikositetraeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel (≈ 138° 7’ 5") gleich groß, und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius.
Sei d die Kantenlänge des Rhombenkuboktaeders, so sind die resultierenden Seitenlängen des Deltoids gegeben durch
 a = d\,\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}
 b = \, \frac{2}{7}\,d\, \sqrt{10 - \sqrt{2}}
Die Seitenlängen des Deltoids stehen somit im folgenden Verhältnis zueinander:[1]
 (4 + \sqrt{2})\,a = 7b
Dieses spezielle (reguläre) Deltoidalikositetraeder ist der umbeschriebene Körper dreier zueinander senkrecht stehenden regelmäßiger Achtecke (mit Kantenlänge a), die sich in ihren Ecken schneiden.
  • Weiterhin kann das Deltoidalikositetraeder als ein dreifach geschnittener „aufgeblähter“ Würfel angesehen werden, der mit seinen 24 quadratischen Begrenzungsflächen topologisch gleichwertig ist.

Verwandte Polyeder[Bearbeiten]

Formeln[2][Bearbeiten]

Für das Polyeder[Bearbeiten]

Netz des Deltoidalikositetraeders
Größen eines regelmäßigen Deltoidikositetraeders mit Kantenlänge a bzw. b
Volumen
≈ 6,9a3 ≈ 14,91b3
V = \frac{2}{7}\, a^3 \sqrt{292 + 206\sqrt{2}} = b^3 \sqrt{122 + 71\sqrt{2}}
Oberflächeninhalt
≈ 18,36a2 ≈ 30,69b2
A_O = \frac{12}{7}\, a^2 \sqrt{61 + 38\sqrt{2}} = 6\,b^2 \sqrt{29 - 2\sqrt{2}}
Inkugelradius \rho = a\, \sqrt{\frac{22+15\sqrt{2}}{34}} = \frac{b}{2} \sqrt{\frac{78 + 47\sqrt{2}}{17}}
Kantenkugelradius r = \frac{a}{2} \left(1+ \sqrt{2} \right) = \frac{b}{2} \left(2+ 3\sqrt{2} \right)
Flächenwinkel
 ≈ 138° 7’ 5"
 \cos \, \alpha= -\frac{1}{17}\,(7 + 4\sqrt{2})
3D-Kantenwinkel
 = 135°
 \cos \, \gamma = -\frac{1}{2}\sqrt{2}

Für das Deltoid[Bearbeiten]

Größen im Deltoid – Bemerkenswert bei diesem Drachenviereck, das auch ein Tangentenviereck darstellt, ist die Tatsache, dass 3 der insgesamt 4 Innenwinkel gleich groß sind.
Größen des Drachenvierecks
Flächeninhalt  A = \frac{a^2}{14} \sqrt{61 + 38\sqrt{2}}
Inkreisradius  r = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{7+4\sqrt{2}}{17}}
1. Diagonale  e = \frac{a}{2} \sqrt{4 + 2\sqrt{2}}
2. Diagonale  f = \frac{a}{7} \sqrt{46 + 15\sqrt{2}}
Spitze Winkel (3)
 ≈ 81° 34’ 44"
 \cos \, \alpha = \frac{1}{4}\,(2-\sqrt{2})
Stumpfer Winkel (1)
 ≈ 115° 15’ 47"
 \cos \, \beta = -\frac{1}{8}\,(2+\sqrt{2})

Vorkommen[Bearbeiten]

In der Natur kristallieren z. B. Leucit, Analcim und Spessartin bevorzugt in Form von Deltoidalikositetraedern. Auch bei anderen Mineralen der Granatgruppe oder beim Fluorit kommen Deltoidalikositetraeder als Kristallform vor. Der Deltoidalikositetraeder, das ist die Form {hll} (mit h>l), ist entweder eine spezielle Form der Kristallklasse m3m, eine Grenzform des Pentagonikositetraeders in der Kristallklasse 432 oder eine Grenzform des Disdodekaeders in der Kristallklasse m3.

Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. Mit a sei die längere der beiden Seiten bezeichnet.
  2. Diese Formeln gelten ausschließlich für den Spezialfall  7b = a\,(4 + \sqrt{2}) .

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Deltoidalikositetraeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Deltoidalikositetraeder – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen