Denavit-Hartenberg-Transformation

Beispiel einer kinematischen Kette anhand eines Roboters; mit Koordinatensystemen und DH-Parametern

Die Denavit-Hartenberg-Transformation (DH-Transformation) aus dem Jahr 1955 ist ein mathematisches Verfahren, das auf der Basis von homogenen Matrizen und der sogenannten Denavit-Hartenberg-Konvention (DH-Konvention) die Überführung von Ortskoordinatensystemen (OKS) innerhalb von kinematischen Ketten beschreibt. Sie erleichtert so vor allem die Berechnung der direkten Kinematik (Vorwärtskinematik) und gilt hierbei mittlerweile als das Standardverfahren, insbesondere im Bereich Robotik.

DH-Konvention

Folgende Voraussetzungen sind notwendig:

1. die z_n-Achse liegt entlang der Bewegungsachse des n-ten Gelenks
2. die x_n-Achse ist das Kreuzprodukt von z_n und z_{n − 1}.
3. das Koordinatensystem wird mit der y_n-Achse ergänzt so dass es ein rechtshändiges System ergibt.

Für das erste Gelenk wird die x Achse von dem zweiten Gelenk übernommen.

DH-Transformation

Die eigentliche DH-Transformation vom Objektkoordinatensystem (OKS) T_{n − 1} in das OKS T_n besteht in der Hintereinanderausführung folgender Einzeltransformationen:

• einer Rotation θ_n (Gelenkwinkel) um die z_{n − 1}-Achse, damit die x_{n − 1}-Achse parallel zu der x_n-Achse liegt

$\operatorname{Rot}(z_{n - 1}, \theta_n) = \begin{pmatrix} \cos\theta_n & -\sin\theta_n & 0 & 0 \\ \sin\theta_n & \cos\theta_n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

• einer Translation d_n (Gelenkabstand) entlang der z_{n − 1}- Achse bis zu dem Punkt, wo sich z_{n − 1} und x_n schneiden

$\operatorname{Trans}(z_{n - 1}, d_n) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & d_n \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

• einer Translation a_n (Armelementlänge) entlang der x_n-Achse, um die Ursprünge der Koordinatensysteme in Deckung zu bringen

$\operatorname{Trans}(x_n, a_n) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & a_n \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

• einer Rotation α_n (Verwindung) um die x_n-Achse, um die z_{n − 1}-Achse in die z_n-Achse zu überführen

$\operatorname{Rot}(x_n, \alpha_n) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha_n & -\sin\alpha_n & 0 \\ 0 & \sin\alpha_n & \cos\alpha_n & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

In Matrixschreibweise lautet die Gesamttransformation dann (von links nach rechts zu interpretieren):

${}^{n - 1}T_n = \operatorname{Rot}(z_{n - 1}, \theta_n) \cdot \operatorname{Trans}(z_{n - 1}, d_n) \cdot \operatorname{Trans}(x_n, a_n) \cdot \operatorname{Rot}(x_n, \alpha_n)$

$= \begin{pmatrix} \cos\theta_n & -\sin\theta_n \cos\alpha_n & \sin\theta_n \sin\alpha_n & a_n \cos\theta_n \\ \sin\theta_n & \cos\theta_n \cos\alpha_n & -\cos\theta_n \sin\alpha_n & a_n \sin\theta_n \\ 0 & \sin\alpha_n & \cos\alpha_n & d_n \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Die Invertierte dieser Matrix

${}^{n - 1}T_{n}^{-1} = \operatorname{Rot}(x_{n}, -\alpha_n) \cdot \operatorname{Trans}(x_{n}, -a_n) \cdot \operatorname{Trans}(z_{n-1}, -d_n) \cdot \operatorname{Rot}(z_{n-1}, -\theta_n)$

beschreibt die Transformation eines Punktes vom OKS T_n ins OKS T_{n − 1}. Entsprechend kann die ursprüngliche Matrix ^{n − 1}T_n auch als Transformation eines Punktes vom OKS T_{n − 1} ins OKS T_n interpretiert werden, wenn der Ortsvektor des Punktes von rechts an die Matrix multipliziert wird.

Die Parameter θ_n,d_n,a_n und α_n werden dabei auch Denavit-Hartenberg-Parameter genannt.

Bei offenen kinematischen Ketten sind θ_n und d_n variable Größen während der Bewegung des Roboters, abhängig von dessen spezieller Geometrie und Maßen. Bei einem rotatorischem Gelenk ist θ_n variant und d_n konstant, bei einem Schubgelenk umgekehrt. α_n und a_n dagegen sind sowohl bei Rotations-, als auch bei Schubgelenken invariante Größen und müssen für die spätere Berechnung der direkten Kinematik nur einmal für jedes einzelne Armelement bestimmt werden.

Weblinks

 Commons: Denavit-Hartenberg-Transformation – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eine Visualisierung zur Ermittlung der Denavit-Hartenberg-Parameter in englischer Sprache verfügbar unter: YouTube, 1280x720 MPEG-4, 640x360 MPEG-4
• Denavit-Hartenberg Parameters (englisch)

Literatur

• Hans-Jürgen Siegert, Siegfried Bocionek: Robotik, Programmierung intelligenter Roboter. Springer Verlag 1996, ISBN 3-540-60665-3.
• Wolfgang Weber: Industrieroboter, Methoden der Steuerung und Regelung. Carl Hanser Verlag, München Wien, 2009, ISBN 978-3-446-41031-2.
• Jorge Angeles: Fundamentals of Robotic Mechanical Systems. Springer Verlag, New York, 1997, ISBN 0-387-94540-7.
• Friedrich Pfeiffer, Eduard Reithmeier: Roboterdynamik. Teubner Verlag, Stuttgart, 1987, ISBN 3-519-02077-7.
• Miomir Vukobratvic: Introduction to Robotics. Springer Verlag, Berlin, 1989, ISBN 0-387-17452-4.
• John J. Craig: Introduction to Robotics, Mechanics and Control. Pearson Prentice Hall, NJ 07458, 2005, ISBN 0-201-54361-3.