Derivation (Mathematik)

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In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik bezeichnet man Abbildungen als Derivationen, wenn sie die Leibnizregel erfüllen. Das Konzept der Derivationen ist eine Verallgemeinerung der aus der Schulmathematik bekannten Ableitung.

Definition[Bearbeiten]

Es sei R ein kommutativer Ring mit Eins, beispielsweise ein Körper wie \mathbb R oder \mathbb C. Außerdem sei A eine R-Algebra. Eine (R-lineare) Derivation von A ist eine R-lineare Abbildung D\colon A\to A, die

D(a_1a_2)=D(a_1)a_2+a_1D(a_2) für alle a_1,a_2\in A

erfüllt. Die Eigenschaft R-linear besagt, dass für alle a_1 , a_2 \in A und r \in R die Gleichungen

D(a_1 + a_2) = D(a_1) + D(a_2)

und

D(r a_1) = r D(a_1)

gelten. Die Definition schließt Ringe A ein, indem man sie als \Z-Algebren auffasst. Bildet D in einen Modul oder Bimodul ab, so kann man die Definition analog angeben.

Allgemeine Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Ist A eine Algebra mit Einselement 1_A, so gilt D(1_A)=0. Damit gilt auch D(r)=0 für alle r\in R.
  • Der Kern einer Derivation ist eine Unteralgebra.
  • Die Menge der Derivationen von A mit Werten in A bildet mit dem Kommutator eine Lie-Algebra: Sind D_1 und D_2 Derivationen, so auch
[D_1,D_2]=D_1\circ D_2-D_2\circ D_1.
  • Für ein Element b\in A ist D_b\colon A\to A, D_b(a)=ba-ab, eine Derivation. Derivationen dieses Typs heißen innere Derivationen. Die Hochschild-Kohomologie H^2(A,A) ist der Quotient des Moduls der Derivationen nach dem Untermodul der inneren Derivationen.
  • In einer kommutativen Algebra A gilt D(a^n) = n a^{n-1} D(a) für alle a\in A und alle nichtnegativen ganzen Zahlen n.

Beispiele[Bearbeiten]

\sum a_i X^i \mapsto \sum i a_i X^{i-1}
eine R-lineare Derivation von A mit Werten in A.
[X,[A,B]]=[[X,A],B]+[A,[X,B]].

Derivationen und Kähler-Differentiale[Bearbeiten]

Per definitionem werden R-lineare Derivationen einer kommutativen Algebra A durch den Modul \Omega_{A/R} der Kähler-Differentiale klassifiziert, d.h. es gibt eine natürliche Bijektion zwischen den R-linearen Derivationen von A mit Werten in einem A-Modul M und den A-linearen Abbildungen \Omega_{A/R}\to M. Jede Derivation D\colon A\to M entsteht als Verkettung der universellen Derivation \mathrm d\colon A\to\Omega_{A/R} mit einer A-linearen Abbildung \Omega_{A/R}\to M.

Antiderivationen[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Ist A eine \mathbb Z- oder \mathbb Z/2\mathbb Z-graduierte R-Algebra, so heißt eine R-lineare graduierte Abbildung D\colon A\to A eine Antiderivation, wenn

D(a_1a_2)=D(a_1)a_2+(-1)^{|a_1|}\cdot a_1D(a_2)

für alle homogenen Elemente a_1,a_2\in A gilt; dabei bezeichnet |a_1| den Grad von a_1.

Beispiele[Bearbeiten]

\mathrm d(\omega\wedge\eta)=\mathrm d\omega\wedge\eta+(-1)^{|\omega|}\cdot\omega\wedge\mathrm d\eta.

Literatur[Bearbeiten]