Detailed Balance

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Der Begriff detailliertes Gleichgewicht (engl. detailed balance) bezeichnet eine Eigenschaft von homogenen Markow-Ketten, einem speziellen stochastischem Prozess. Anschaulich ist ein Prozess im detaillierten Gleichgewicht, wenn nicht erkennbar ist, ob er sich zeitlich vorwärts oder rückwärts bewegt.

Definition[Bearbeiten]

Eine Markow-Kette mit möglichen Zuständen (X_z)_{z \in \mathbb Z} und einer Übergangsmatrix (w_{ij}), wobei w_{ij} die Wahrscheinlichkeit für einen Übergang von Zustand X_i zum Zustand X_j bezeichnet (also die Übergangswahrscheinlichkeit), heißt reversibel bezüglich der Verteilung  P , wenn

 P(X_i)w_{ij} = P(X_j)w_{ji}

für alle i,j gilt. Eine Markow-Kette heißt reversibel, wenn sie eine Verteilung besitzt, bezüglich derer sie reversibel ist.

Die obige Gleichung ist die Bedingung der detaillierten Balance (engl. detailed balance) oder des detaillierten Gleichgewichts. Ist sie erfüllt, so ist das System, das durch den Markow-Prozess beschrieben wird im detaillierten Gleichgewicht oder der detaillierten Balance.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Der Metropolisalgorithmus ist ein Beispiel für einen stochastischen Prozess, der die Eigenschaft der Detailed Balance erfüllt. Er wird in Monte-Carlo-Simulationen dazu genutzt, Zustände eines Systems aus vorhergehenden Zuständen gemäß einer Übergangswahrscheinlichkeit zu erzeugen.
  • Für stationäre Markow-Ketten (X_z)_{z \in \mathbb Z} mit Übergangsmatrix (w_{ij}) (also insbesondere für diejenigen Ketten, die in einer stationären Verteilung starten) ist diese Eigenschaft äquivalent zur zeitlichen Reversibilität, das heißt für den zeitumgekehrten Prozess \tilde X_z := X_{-z} gilt für alle t_1, \dots, t_n \in \mathbb Z
 (X_{t_1}, \dots, X_{t_n}) \sim (X_{-t_1}, \dots, X_{-t_n})\,.
Für jede Realisierung ist also gleichgültig, in welcher Richtung sie durchlaufen wird.
  • Jede Verteilung, welche die Detailed Balance Bedingung erfüllt, ist eine Stationäre Verteilung. Die Konvergenz einer beliebigen Verteilung gegen die Stationäre Verteilung ist daraus aber nicht gegeben.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • G. Bhanot, The Metropolis algorithm, Rept. Prog. Phys. 51 (1988) 429
  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8