Diagonalfunktor

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Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist der Diagonalfunktor ein Funktor, der es erlaubt, eine Kategorie \mathcal{C} in die Kategorie der Funktoren \mathcal{C}^\mathcal{D} für eine beliebige nichtleere (kleine) Kategorie \mathcal{D} einzubetten. Der Name rührt daher, dass für ein diskretes \mathcal{D} mit zwei Elementen der Diagonalfunktor gerade die Abbildung \mathcal{C} \to \mathcal{C}\times\mathcal{C}, u\mapsto (u,u) ist.

Definition und Funktorialität[Bearbeiten]

Sei \mathcal{C} eine Kategorie und \mathcal{D} eine kleine Kategorie. Dann ist der Diagonalfunktor \Delta definiert als Abbildung, die jedem Morphismus u\in\mathcal{C} eine natürliche Transformation \Delta(u)\in\mathcal{C}^\mathcal{D} zuordnet, wobei \Delta(u) dadurch gegeben sei, dass sie jedem Objekt und damit jedem Morphismus in \mathcal{D} den Morphismus u zuweise. Für ein Objekt A\in\mathcal{C} ist \Delta(A) offensichtlich ein Funktor. Um nun einzusehen, dass \Delta tatsächlich Funktor ist, betrachte man für Morphismen u\colon A\to B und v\colon B\to C aus der Kategorie \mathcal{C} die Verkettung der natürlichen Transformationen \Delta(u) und \Delta(v), dies ergibt per definitionem für jedes \phi\colon X\to Y in \mathcal{D} das folgende kommutative Diagramm:

Diagonal functor.svg

Dieses ist nichts anderes als:

Diagonal functor (replaced).svg

Dies entspricht der natürlichen Transformation \Delta(uv), womit bewiesen ist, dass \Delta(uv)=\Delta(u)\Delta(v). Für nichtleeres \mathcal{D} ist \Delta offensichtlich injektiv, bettet also \mathcal{C} in die entsprechende Funktorkategorie ein. Unter einer bestimmten Voraussetzung ist \Delta auch voll: Sei \alpha\colon\Delta(A)\to\Delta(B) natürliche Transformation, d. h. dass für jedes \phi\colon X\to Y in \mathcal{D} das Diagramm

Fullness of a diagonal functor.svg

kommutiert (denn \Delta(A)(\phi)=A und \Delta(B)(\phi)=B). Was nichts anderes heißt, als dass \alpha(X)=\alpha(Y), wann immer ein Morphismus zwischen X und Y existiert. Falls die Kategorie \mathcal{D} als Graph aufgefasst schwach zusammenhängend ist, ist \alpha also konstant und somit im Bild von \Delta, womit \Delta voll ist.[1] Dies ist beispielsweise für eine Pfeilkategorie \mathcal{C}^\mathcal{D} oder allgemeiner für \mathcal{D} mit Anfangs- oder Endobjekt erfüllt, nicht dagegen für ein Produkt \mathcal{C}^\mathcal{D} für diskretes \mathcal{D} mit mindestens zwei Elementen.

Zusammenhang mit Limites[Bearbeiten]

Ein Kegel bezüglich eines Funktors F\colon\mathcal{D}\to\mathcal{C} ist nichts anderes als ein Objekt in \mathcal{C} versehen mit einer natürlichen Transformation von \Delta(A) nach F. Ein Limes von F ist dabei ein spezieller Kegel, nämlich eine \Delta-kouniverselle Lösung für F. Dual dazu ist ein Kolimes von F ein spezieller Kokegel, nämlich eine \Delta-universelle Lösung für F. Besitzt \Delta einen rechtsadjungierten Funktor, so ist \mathcal{C} vollständig bezüglich Limites auf \mathcal{D}, die Umkehrung gilt ebenfalls. Dieser adjungierte Funktor ist gerade der Limesfunktor. Entsprechend ist der Kolimesfunktor (wenn er existiert) linksadjungiert zum Diagonalfunktor.[2]

Der Diagonalfunktor ist stetig, d. h. er erhält alle Limites, die in \mathcal{C} existieren. Ebenso erhält er alle Kolimites.[3]

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Pumplün, S. 105-106
  2. Mac Lane, S. 233
  3. Pumplün, S. 169