Dichte Ordnung

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Dichte Ordnung ist ein mathematischer Begriff aus dem Gebiet der Ordnungstheorie. Eine Ordnung heißt dicht, wenn zwischen je zwei Elementen ein drittes liegt.

Definition[Bearbeiten]

Eine lineare Ordnung < auf einer Menge X heißt dicht, falls

für alle x,z\in X mit x<z gibt es ein y\in X mit x<y<z,

das heißt, für je zwei verschiedene Elemente von X gibt es ein drittes, das zwischen den beiden liegt.

Eine Teilmenge D einer linear geordneten Menge X heißt dicht, falls

für alle x,z\in X mit x<z gibt es ein y\in D mit x<y<z.

Genauer sagt man auch ordnungsdicht, um eine Verwechslung mit anderen Dichtheitsbegriffen zu vermeiden.[1] Der Begriff lässt sich völlig analog für beliebige partielle Ordnungen definieren.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die Menge \Q der rationalen Zahlen mit der natürlichen Anordnung < ist dicht, denn sind a,b\in \Q mit a<b, so ist \textstyle \frac{a+b}{2} ebenfalls eine rationale Zahl und diese liegt zwischen a und b.
  • Die Menge \R der reellen Zahlen mit der natürlichen Anordnung < ist dicht, wobei die Begründung wie für \Q geführt werden kann. \Q\subset \R liegt ordnungsdicht.
  • Die Menge \Z der ganzen Zahlen mit der natürlichen Anordnung < ist nicht dicht, da zwischen zwei aufeinander folgenden ganzen Zahlen keine dritte ganze Zahl liegt.
  • Definitionsgemäß ist eine einelementige Menge mit der eindeutig bestimmten linearen Ordnung auf ihr dicht geordnet, da es keine zwei Elemente x<y gibt, für die die definierende Bedingung erfüllt sein müsste. Manche Autoren schließen diesen trivialen Fall aus, indem sie zusätzlich fordern, dass die Menge mindestens zwei Elemente haben muss.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Universelle Eigenschaft[Bearbeiten]

Nach einem Satz von Cantor enthalten nichtleere abzählbare, dichte Ordnungen ohne kleinstes und größtes Element alle anderen abzählbaren, linearen Ordnungen, das heißt sie haben folgende universelle Eigenschaft[2]:

Es sei (X,<) eine nichtleere abzählbare, dichte, linear geordnete Menge ohne kleinstes und größtes Element und (Y,<) eine beliebige abzählbare, linear geordnete Menge. Dann gibt es eine injektive Abbildung f:Y\rightarrow X mit \forall x,y\in Y: x<y \Leftrightarrow f(x) < f(y)

Isomorphieklassen abzählbarer, dichter, linear geordneter Mengen[Bearbeiten]

Nach einem weiteren Satz von Cantor sind je zwei nichtleere, abzählbare, dichte, linear geordnete Mengen ohne kleinstes oder größtes Element ordnungsisomorph[3][4]. Das heißt: Sind X und Y zwei solche Mengen und sind beide Ordnungen mit < bezeichnet, so gibt es eine bijektive Abbildung f:X\rightarrow Y mit \forall x,y\in X: x<y \Leftrightarrow f(x) < f(y).

Die folgenden Beispiele sind daher alle isomorph:

  • \Q mit der natürlichen Ordnung
  • \Q+\sqrt{2}\cdot \Q = \{a+\sqrt{2}\cdot b;\, a,b\in \Q\} mit der natürlichen Ordnung
  • (0,1)\cap \Q mit der natürlichen Ordnung
  • ((-\infty,0)\cap\Q) \cup ((1,\infty)\cap\Q) mit der natürlichen Ordnung
  • ((-\infty,0]\cap\Q) \cup ((1,\infty)\cap\Q) mit der natürlichen Ordnung
  • \Q^2 mit der lexikographischen Ordnung

Verzichtet man auf die Bedingungen über kleinste und größte Elemente, so erhält man[5]:

Jede abzählbare, dichte, linear geordnete Menge ist isomorph zu einer der folgenden sechs Mengen, jeweils mit ihrer natürlichen Ordnung versehen:

\emptyset, \{0\}, (0,1)\cap \Q, [0,1)\cap \Q , (0,1]\cap \Q, [0,1]\cap \Q

Eine Charakterisierung des Kontinuums[Bearbeiten]

Eine Ordnung heißt vollständig, wenn jede nach oben beschränkte Menge ein Supremum hat. Nach einem weiteren Satz von Cantor lässt sich das Kontinuum, das heißt die Menge \R der reellen Zahlen, ordnungstheoretisch wie folgt charakterisieren: \R mit der natürlichen Ordnung ist bis auf Ordnungsisomorphie die einzige vollständige, lineare Ordnung, die eine abzählbare, ordnungsdichte und zu \Q ordnungsisomorphe Teilmenge enthält.[6]

Elementare Äquivalenz[Bearbeiten]

Je zwei nichtleere dichte lineare Ordnungen ohne kleinstes und größtes Element sind elementar äquivalent, wie sich aus dem Satz von Fraïssé ergibt (siehe hier für einen Beweis).[7] Insbesondere lassen sich die Ordnungstheorien von \Q und \R in der Prädikatenlogik erster Stufe nicht unterscheiden, Eigenschaften wie die Vollständigkeit lassen sich in ihr nicht formulieren.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Thomas Jech: Set Theory, Springer-Verlag (2003), ISBN 3-540-44085-2, Definition 4.2
  2. Joseph G. Rosenstein: Linear Orderings, Pure & Applied Mathematics, Academic Press Inc (Oktober 1982), Satz 2.5
  3. Joseph G. Rosenstein: Linear Orderings, Pure & Applied Mathematics, Academic Press Inc (Oktober 1982), Satz 2.8
  4. Ernest Schimmerling: A Course on Set Theory, Cambridge University Press (2011), ISBN 1-1070-0817-4, Theorem 6.5
  5. Joseph G. Rosenstein: Linear Orderings, Pure & Applied Mathematics, Academic Press Inc (Oktober 1982), Korollar 2.9
  6. Thomas Jech: Set Theory, Springer-Verlag (2003), ISBN 3-540-44085-2, Satz 4.3
  7. Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas: Einführung in die mathematische Logik. Spektrum Akademischer Verlag (1996), ISBN 3-8274-0130-5, XII, §2, 2.2