Dichte Teilmenge

Der Begriff der dichten Teilmenge eines metrischen oder topologischen Raumes ist ein mathematischer Fachbegriff und wird in seiner allgemeinen Form im mathematischen Fachgebiet Topologie definiert. Er wird in vielen Teildisziplinen der Mathematik, etwa der Analysis, der Funktionalanalysis und der Numerik angewandt, zum Beispiel bei der Approximation von stetigen Funktionen durch Polynome.

Man sagt von einer Teilmenge, sie liege dicht in einem metrischen Raum, wenn man jeden Punkt des Gesamtraums beliebig genau durch einen Punkt aus der Teilmenge approximieren kann. So bilden die rationalen Zahlen $\Bbb{Q}$ eine dichte Teilmenge in der Menge der reellen Zahlen $\Bbb{R}$. Das bedeutet, dass man irrationale Zahlen beliebig genau durch rationale Brüche beziehungsweise durch endliche Dezimalzahlen approximieren kann. Allgemeiner sagt man von einer Teilmenge $A$, sie liege dicht in einem topologischen Raum $X$, wenn jede Umgebung eines beliebigen Punktes $x$ aus $X$ immer auch ein Element aus $A$ enthält.

Ein Spezialfall dieses topologischen Begriffes „dicht“ ergibt sich durch die Anwendung auf geordnete Mengen. Eine Teilmenge $S$ einer streng totalgeordneten Menge $(M, <)$ heißt dicht (in $M$), wenn es zu allen $x$ und $y$ aus $M$ mit $x < y$ ein $z$ aus $S$ gibt, so dass $x < z < y$. Dieser Spezialfall ergibt sich durch die Ordnungstopologie auf $M$ und wird dort näher erläutert. Der vorliegende Artikel behandelt den allgemeineren topologischen Begriff.

Definition

Sei $(X, T)$ ein topologischer Raum. Eine Teilmenge $M$ liegt genau dann dicht in $X$, wenn eine (und damit jede) der folgenden gleichwertigen Aussagen zutrifft:

• Der Abschluss von $M$ stimmt mit $X$ überein.
• Jede Umgebung in $X$ enthält einen Punkt aus $M$.

Nirgends dichte Teilmenge

Ein komplementäres Konzept ist das der nirgends dichten Mengen: Eine Menge heißt genau dann nirgends dicht, wenn die Menge in keiner Umgebung eines ihrer Elemente dicht liegt. Dies ist äquivalent dazu, dass das Innere des Abschlusses der Menge leer ist, d. h. die größte und einzige offene Menge, die im Abschluss enthalten ist, ist die leere Menge.

Eigenschaften

• Inklusion: $A\text{ dicht in }X\text{, }A\subseteq B \Rightarrow B \text{ dicht in }X$
  
• Transitivität: $X\text{ dicht in }Y\text{, }Y\text{ dicht in }Z\Rightarrow X \text{ dicht in }Z$
  

wobei "dicht" im Sinne der Unterraumtopologie gemeint ist.

Beispiele

• Die Menge der rationalen Zahlen $\Bbb{Q}$ liegt dicht in der Menge der reellen Zahlen $\Bbb{R}$.
• Die Menge der irrationalen Zahlen liegt dicht in der Menge der reellen Zahlen $\Bbb{R}$.
• Die Menge der Polynome liegt dicht in der Menge der stetigen Funktionen auf einem kompakten Intervall.
• Die Menge der Testfunktionen liegt dicht in der Menge der Lebesgue-Integrierbaren Funktionen.
• Sei $M$ eine Teilmenge eines mittels $\|\cdot\|$ normierten Raums $X$. Bezeichnet man mit $\overline{M}$ die abgeschlossene Hülle dieser Menge bezüglich der Norm $\|\cdot\|$, so liegt $M$ dicht in $\overline{M}$.
• Die Menge der natürlichen Zahlen $\Bbb{N}$ liegt nicht dicht in der Menge der rationalen Zahlen $\Bbb{Q}$, sie ist sogar nirgends dicht in $\Bbb{Q}$.
• Die Cantor-Menge ist eine überabzählbare, abgeschlossene und nirgends dichte Teilmenge der reellen Zahlen.
• Das Intervall $[-1,1]$ liegt nicht dicht in den reellen Zahlen, ist aber auch nicht nirgends dicht, denn es liegt dicht in $[-1,1]$, was eine Umgebung der Null ist.

Siehe auch

• Ein Raum, der eine abzählbare dichte Teilmenge besitzt, heißt separabel.
• Eine abzählbare Vereinigung nirgends dichter Mengen nennt man auch mager.

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9 (Springer-Lehrbuch).
• Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. Heldermann, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X (Berliner Studienreihe zur Mathematik 15).