Diedergruppe

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Diese Schneeflocke hat die Symmetriegruppe eines regelmäßigen Sechsecks.

In der Gruppentheorie ist die Diedergruppe D_n die Isometriegruppe eines regelmäßigen Polygons in der Ebene. Die Gruppe enthält 2n Elemente, nämlich n Drehungen und n Spiegelungen. Sie ist für n > 2 nicht-abelsch. Ihr Name leitet sich vom Wort Dieder (Silbentrennung: Di-eder, Aussprache [diˈeːdər] ) (griechisch: Zweiflächner) für regelmäßige n-Ecke ab.

Diedergruppen treten häufig in der Geometrie und Gruppentheorie auf. Sie werden von zwei Spiegelungen (Elementen der Ordnung 2) erzeugt und sind damit die einfachsten Beispiele von Coxeter-Gruppen.

Bezeichnungen[Bearbeiten]

Es gibt für Diedergruppen zwei abweichende Bezeichnungen. In der Geometrie schreibt man üblicherweise D_n um den Zusammenhang mit dem regelmäßigen n-Eck zu unterstreichen. In der Gruppentheorie schreibt man auch oft D_{2n} um stattdessen die Elementezahl 2n hervorzuheben. Diese Zweideutigkeit lässt sich jedoch leicht durch eine erläuternde Ergänzung beheben. In diesem Artikel steht D_n für die Diedergruppe mit 2n Elementen.

Definition[Bearbeiten]

Die Diedergruppe D_n ist die Isometriegruppe eines regelmäßigen n-Ecks in der Ebene. Diese besteht aus n Drehungen und n Spiegelungen, hat also insgesamt 2n Elemente. Die Isometrien bezeichnet man auch als Symmetrietransformationen. Die Verknüpfung der Gruppe D_n ist gegeben durch die Hintereinanderausführung von Symmetrietransformationen.

Beispiele[Bearbeiten]

Ein Beispiel ist die Diedergruppe D_3 der Kongruenzabbildungen eines gleichseitigen Dreiecks auf sich, die auch als symmetrische Gruppe S_3 bezeichnet wird. D_4 ist entsprechend die Symmetriegruppe des Quadrats unter Spiegelungen und Drehungen.

D_2 ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe und ist die Symmetriegruppe (bestehend nur aus Spiegelungen und der Identität) von vier Punkten eines Quadrats, bei dem nur die rechte und linke Seite eingezeichnet sind (also zwei Zweiecke). D_1 ist die Symmetriegruppe eines Zweiecks.

Die folgende Grafik illustriert die Diedergruppe D_8 anhand der Drehungen und Spiegelungen eines Stoppschildes: Die erste Zeile zeigt alle acht Drehungen, die zweite Zeile alle acht Spiegelungen.

Dihedral8.png

Matrix-Darstellung[Bearbeiten]

Wir betrachten ein ebenes regelmäßiges n-Eck. Seinen Mittelpunkt wählen wir als Nullpunkt O eines Koordinatensystems, irgendeine seiner n Symmetrieachsen als x-Achse und die Normale dazu (in üblicher Orientierung, sodass sich ein Rechtssystem ergibt) als y-Achse. Die Diedergruppe D_n lässt sich dann leicht als Matrixgruppe darstellen. Hierzu sei r_k die Drehung um O um den Winkel \alpha_k\colon=k\cdot 2\pi/n und s_k die Spiegelung an der Geraden durch O, die im Winkel \alpha_k/2=k\cdot \pi/n gegenüber der positiven x-Achse geneigt ist. Als Matrizen schreiben sich diese Transformationen dann so:


r_k = \begin{pmatrix}
        \cos(\alpha_k) & -\sin(\alpha_k) \\
        \sin(\alpha_k) & \cos(\alpha_k)
      \end{pmatrix}
\qquad \text{und} \qquad
s_k =  \begin{pmatrix}
         \cos(\alpha_k) & \sin(\alpha_k) \\
         \sin(\alpha_k) & -\cos(\alpha_k)
       \end{pmatrix}

Hierbei fallen folgende Relationen auf:

  • r_{k+n}=r_k und s_{k+n}=s_k. Daher können wir uns auf k=0,1,2,\dots,n-1 beschränken.
  • r_0, die Drehung um den Winkel 0, ist die Identität.
  • r_1 ist die Drehung um den Winkel 2\pi/n und es gilt r_k = r_1^k für alle k.
  • s_0 ist die Spiegelung an der x-Achse und es gilt s_k = r_k s_0 für alle k.

Wenn n ungerade ist, dann verläuft jede der n Spiegelachsen durch einen Eckpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Für gerades n gibt es hingegen zwei Arten von Spiegelachsen, durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte oder durch zwei gegenüberliegende Seitenmittelpunkte.

In dieser Darstellung schreiben sich zum Beispiel die acht Elemente der Diedergruppe D_4 wie folgt:


  \begin{align}
    r_0 &= \bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}\bigr), &
    r_1 &= \bigl(\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}\bigr), &
    r_2 &= \bigl(\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\bigr), &
    r_3 &= \bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}\bigr), \\
    s_0 &= \bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\bigr), &
    s_1 &= \bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\bigr), &
    s_2 &= \bigl(\begin{smallmatrix}-1&0\\0&1\end{smallmatrix}\bigr), &
    s_3 &= \bigl(\begin{smallmatrix}0&-1\\-1&0\end{smallmatrix}\bigr).
  \end{align}

Diese Drehungen und Spiegelungen lassen sich bildlich wie folgt darstellen:

Group D8 id.svg
r_0 (Drehung um 0°)
Group D8 270.svg
r_1 (Drehung um 90°)
Group D8 180.svg
r_2 (Drehung um 180°)
Group D8 90.svg
r_3 (Drehung um 270°)
Group D8 fv.svg
s_0 (Spiegelung an der x-Achse)
Group D8 f13.svg
s_1 (Spiegelung an der Diagonale y=x)
Group D8 fh.svg
s_2 (Spiegelung an der y-Achse)
Group D8 f24.svg
s_3 (Spiegelung an der Diagonale y=-x)
Drehungen und Spiegelungen eines Quadrates. Die vier Ecken sind nummeriert und eingefärbt, um die Transformation bildlich darzustellen.

Permutations-Darstellung[Bearbeiten]

Betrachten wir zunächst als Beispiel die Diedergruppe D_4. Diese operiert durch Symmetrietransformationen auf einem Quadrat wie in der vorangehenden Grafik gezeigt. Betrachtet man die Aktion der Diedergruppe D_4 auf den Eckpunkten 1,2,3,4, erhält man eine treue Darstellung in die symmetrische Gruppe S_4, also einen injektiven Gruppenhomomorphismus \tau \colon D_4 \to S_4. Genauer gesagt wirken die Transformationen auf den Ecken als folgende Permutationen:

 
  \begin{align}
  \tau(r_0) & = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{smallmatrix}\bigr) & 
  \tau(r_1) & = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{smallmatrix}\bigr) & 
  \tau(r_2) & = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{smallmatrix}\bigr) & 
  \tau(r_3) & = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{smallmatrix}\bigr) \\
  \tau(s_0) & = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\bigr) & 
  \tau(s_1) & = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{smallmatrix}\bigr) & 
  \tau(s_2) & = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{smallmatrix}\bigr) & 
  \tau(s_3) & = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2 \end{smallmatrix}\bigr) 
  \end{align}

Ganz allgemein definiert die Operation der Diedergruppe D_n auf den Eckpunkten P_1,P_2,\dots,P_n eine treue Darstellung \tau \colon D_n \to S_n. In obiger Notation erhält man zum Beispiel die Permutation

\tau(r_1) = (1, 2, 3, \dots, n) .

In Zykelschreibweise ist dies die zyklische Permutation, die P_1 auf P_2 abbildet, P_2 auf P_3, und so weiter bis schließlich P_n auf P_1 abgebildet wird. Die weiteren Drehungen erhält man hieraus mittels der Relation r_k = r_1^k für alle k. Für die Spiegelungen erhält man entsprechend in Zykelschreibweise

\tau(s_0) = (1,n-1) (2,n-2) \dots \left(\frac{n}{2}-1,\frac{n}{2}+1\right)

bei geradem n bzw.

\tau(s_0) = (1,n-1) (2,n-2) \dots \left(\frac{n-1}{2},\frac{n+1}{2}\right)

bei ungeradem n. Die weiteren Spiegelungen erhält man hieraus mittels der Relation s_k = r_k s_0 für alle k.

Erzeuger und Relationen[Bearbeiten]

Alle n Drehungen werden von r=r_1 erzeugt. Diese bilden eine zyklische Untergruppe der Ordnung n und demnach von Index 2. Man erhält die gesamte Gruppe durch Hinzufügen einer beliebigen Spiegelung, zum Beispiel s = s_0. Man erhält so die Präsentation

 D_n = \left\langle r,s \mid r^n = s^2 = 1, s r s = r^{-1}\right\rangle .

Die Verkettung von zwei Spiegelungen ist eine Drehung; beträgt der Winkel zwischen den beiden Spieglungsachsen \alpha, so ist ihre Verkettung eine Drehung um den Winkel 2\alpha. Das bedeutet, dass die Diedergruppe D_n von zwei benachbarten Spiegelungen, zum Beispiel s_0 und s_1 erzeugt wird. Man erhält so die Präsentation

 D_n = \left\langle s_0,s_1 \mid s_0^2 = s_1^2 = (s_0 s_1)^n = 1\right\rangle .

Dies ist der einfachste Fall einer Coxeter-Gruppe.

Anwendungen[Bearbeiten]

Geometrie[Bearbeiten]

Diedergruppen sind die einfachsten Beispiele von Spiegelungsgruppen. Diese spielen in der klassischen Geometrie eine wichtige Rolle, zum Beispiel bei der Klassifikation der regulären Polyeder. In Dimension 2 entsprechen hier Diedergruppen den regulären Polygonen.

Codierung[Bearbeiten]

Die durch obige Permutationen definierte Zahlenverknüpfung wird bei Prüfsummenverfahren als Alternative zu diversen modulo-basierten Verfahren angewendet. Zum Beispiel besaßen die deutschen Banknoten Dieder-Prüfsummen.[1]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Jörg Michael: Blütenrein. Prüfziffernverfahren auf der Basis von Diedergruppen. In: c't 4/1997, S. 448