Differential (Mathematik)

Historisch war der Begriff des Differentials bzw. Differenzials im 17. und 18. Jahrhundert der Kern der Entwicklung der Differentialrechnung. Ab dem 19. Jahrhundert wurde die Analysis durch Augustin Louis Cauchy und Karl Weierstrass auf der Grundlage des Grenzwertbegriffes mathematisch korrekt neu aufgebaut, und der Begriff des Differentials verlor an Bedeutung. Heute taucht die Differentialschreibweise $\mathrm dx$ noch in folgenden Begriffsbildungen auf:

• Der Differentialquotient, auch Ableitung genannt, und sein höherdimensionales Analogon, das (totale) Differential einer Abbildung (mit dem veränderten zusätzlichen Zeichen $\partial$, oder rundes $\partial$), auch Ableitung genannt. Sodann tritt er noch in der Variationsableitung oder virtuellen Verschiebung mit dem Zeichen $\delta\,$ auf.
• In der Integralrechnung
• Differentialoperator
• Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten
• Kähler-Differentiale

Im Kontext der letzten beiden Begriffsbildungen hat die Schreibweise $\mathrm dx$ eine eigenständige Bedeutung.

• In der Physik wird die Schreibweise oft abgekürzt.
• In der historischen Bedeutung des Differentials des 17. bis beginnenden 19. Jahrhunderts ist der Begriff des Differentials eine endliche Zahlgröße.

Der Differentialquotient

In der Physik veranschaulicht der Begriff der Momentangeschwindigkeit das Differential: Wird beispielsweise ein fallender Körper immer schneller, so muss man zur Erfassung seiner momentanen Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt möglichst kleine Zeitintervalle $\mathrm dt$ betrachten und die entsprechend zurückgelegte Wegstrecke $\mathrm ds$ messen. Das sind dann eigentlich die Differenzen $\Delta t$ und $\Delta s$. Im Idealfall werden beide Differenzen „unendlich klein“, aber ihr „Quotient“

$\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}$

ist die Momentangeschwindigkeit und kann als Verhältnis endlicher Größen $\mathrm dt$ und $\mathrm ds$ geschrieben werden.

Genau dasselbe Problem tritt auf, wenn man die Steigung der Tangente an einen Funktionsgraphen bestimmen will: sie ist der Quotient, also ein bestimmtes Verhältnis, das beim Grenzwertübergang eingenommen wird, aus der „unendlich kleinen“ Änderung $\Delta f$, die der Funktionswert erfährt, und der „unendlich kleinen“ Änderung $\Delta x$ des Argumentes, dessen Verhältnis mit den endlichen (festen) Größen $\mathrm df$ und $\mathrm dx$ wiedergegeben werden kann.

Die moderne, präzise Fassung dieses Begriffes ist der Grenzwert des Differenzenquotienten

$\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Das Differential des Differentialquotienten

Für eine in einem Intervall differenzierbare Funktion $f(x)$ ist die Differenz zwischen Differenzen- und Differentialquotient an der Stelle $x_0$ eine Funktion $\phi (\Delta x)$ von $\Delta x$.

Aus $\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}-f'(x_0)= \phi(\Delta x)$ ergibt sich der Funktionszuwachs

$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)= f'(x_0) \cdot \Delta x + \phi ( \Delta x) \cdot \Delta x$.

Er besteht aus einem in $\Delta x$ linearen Anteil $f'(x_0) \cdot \Delta x$, der von der gleichen Ordnung wie $\Delta x$ gegen Null konvergiert, und aus einem Anteil $\phi (\Delta x) \cdot \Delta x$, der für $\Delta x \to 0$ von höherer Ordnung als $\Delta x$ gegen Null konvergiert. Den linearen Anteil des Zuwachses $\Delta y$ bezeichnet man als Differential der Funktion an der Stelle $x_0$ und schreibt dafür $\mathrm {d} y = \mathrm {d}f(x_0) = f'(x_0) \cdot \mathrm {d} x$. Die Größe $\mathrm {d} x =\Delta x$ heißt Differential der unabhängigen Variablen. Also $\Delta x$ ist festgehalten.

Differentiale in der Integralrechnung

Um den Flächeninhalt eines Bereiches zu berechnen, der von dem Graphen einer Funktion $f$, der $x$-Achse und zwei dazu senkrechten Geraden $x = a$ und $x = b$ eingeschlossen wird, unterteilte man die Fläche in Rechtecke der Breite $\Delta x$, die „unendlich schmal“ gemacht werden, und der Höhe $f(x)$. Ihr jeweiliger Flächeninhalt ist das „Produkt“

$f(x) \cdot \Delta x$,

der gesamte Flächeninhalt also die Summe

$\int_a^b f(x)\cdot \mathrm dx$

wobei hier $\mathrm dx$ wieder eine endliche Größe ist, die einer Unterteilung des Intervals $[a, b]$ entspricht. Siehe genauer: Mittelwertsatz der Integralrechnung. Es gibt im Intervall $[a, b]$ einen festen Wert $\xi$ dessen Funktionswert multipliziert mit der Summe der endlichen $\mathrm dx$ des Intervalls $[a, b]$ den Wert des Integrals dieser einer stetigen Funktion wiedergibt:

$\int_a^b f(x)\cdot \mathrm dx = f(\xi) \cdot\int_a^b \mathrm dx$

Das Differential des Integrals

Das Differential ist wesentlicher Bestandteil der symbolischen Notation von Integralen und heißt dort Integrationsvariable.

Das Differential $\mathrm{d}x$ hinter dem Integral

$\int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d}x$

bezeichnet ein Intervall innerhalb einer Unterteilung von $[a;b]$ (dem Integrationsintervall). Das Gesamtintervall $[a;b]$ des Integrals muss nicht gleichmäßig unterteilt sein. Die Differentiale an den unterschiedlichen Unterteilungsstellen können verschieden groß gewählt sein, die Wahl der Unterteilung des Integrationsintervalls hängt oft von der Art des Integrationsproblems ab. Zusammen mit dem Funktionswert innerhalb des „differentiellen“ Intervalls (beziehungsweise dem Maximal- oder Minimalwert darinnen entsprechend Ober- und Untersumme) bildet sich eine Flächengröße; man macht den Grenzwertübergang in dem Sinne, dass man die Unterteilung von $[a;b]$ immer feiner wählt. Das Integral ist eine Definition für eine Fläche mit Begrenzung durch ein Kurvenstück.

Historisches

Das erste Symbol ist ein stilisiertes S für „Summe“. Leibniz verwendet es das erste Mal in der handschriftlichen Abhandlung Analysis tetragonistica von 1675. „Utile erit scribi $\textstyle \int$ pro omnia“ (Es wird nützlich sein $\textstyle \int$ anstatt omnia zu schreiben). Omnia steht dabei für omnia l und wird in dem geometrisch orientierten Flächenberechnungsverfahren von Bonaventura Cavalieri verwendet. Die zugehörige gedruckte Veröffentlichung Leibniz’ ist De geometria recondita von 1686, und die Bezeichnungsweise war notwendig, ebenso wie das vorherige $\tfrac{x}{d}$ in $\mathrm dx$ umzuwandeln, um die Rechnung kalkülmäßig einfach und zwangsläufig zu machen.

Es kommt im totalen Differential in der erweiterten Differentialrechnung wieder eine „echte“ Summe $\Sigma$, dem griechischen Zeichen für S, verbunden mit Differentialen in verschiedenen Zusammenhängen vor.

In der modernen Fassung dieses Zugangs zur Integralrechnung nach Bernhard Riemann ist das „Integral“ ein Grenzwert der Flächeninhalte endlich vieler Rechtecke endlicher Breite für immer feinere Unterteilungen des „$x$-Bereichs“.

Differentialformen

Differentialformen fassen die folgende Überlegung in eine mathematische Form: Wie schnell sich der Wert einer Funktion $f$ ändert, hängt davon ab, wie schnell sich das Argument ändert. Eine Differentialform $\mathrm df$ ist also etwas, das ausgehend von einer Änderungsrate $x$ des Arguments (einem Tangentialvektor) angibt, wie rasch sich die Werte von $f$ ändern, wenn man sich so schnell und in die Richtung bewegt, wie $x$ angibt.

In diesem Kontext ist beispielsweise auch die Gleichung

$\mathrm df = \frac{\mathrm df}{\mathrm dx}\cdot\mathrm dx$

korrekt.

Formal gesehen ist dies nichts anderes als der Begriff der Totalableitung, aber die Sichtweise ist eine andere.

Kähler-Differentiale

→ Hauptartikel: Kähler-Differential

Aus der Beobachtung der Differentialgeometrie heraus, dass Tangentialvektoren Derivationen des Raumes der differenzierbaren Funktionen auf einer Mannigfaltigkeit sind, entwickelte sich der Begriff der Kähler-Differentiale: Differentiale werden hier darüber definiert, „dual“ zu den Derivationen zu sein.

Ordnung der Differentiale

Das Differential $\mathrm dy$ bei festgehaltenem $\mathrm dx$

Die Differentiale lassen sich auch einfach und übersichtlich in ihrer Ordnung darstellen, jedoch unterschiedlich nach ihrer Abhängigkeit. So steht $\mathrm{d}x^2$ für das Differential zweiter Ordnung (entsprechend zweiter Ableitung) der unabhängigen Variable und bedeutet $\mathrm{d}x\cdot\mathrm{d}x$ (in der Definition ist das wirklich das Quadrat von Differenzen) und $\mathrm{d^2}y$ (auch als $\mathrm{dd}y$ und $\mathrm{d}y'$ geschrieben) für das Differential zweiter Ordnung der abhängigen Variable, das nicht das Quadrat des Differentials $\mathrm{d}y$ ist, sondern das aus einem Differential erneut gebildete Differential (nach der Definition ist das die Differenz der Differenz). Für dieses Differential gelten die unten angegebenen Rechenregeln.

Erklärung des Differentials zweiter Ordnung $d^2y$

Denkt man sich jetzt $h = \mathrm dx = \Delta x$ irgendwie gewählt, und zwar denselben Wert $h$ für verschiedene $x$, also $\Delta x$ festgehalten, so wird $\mathrm dy = hf'(x)\!\,$ eine Funktion von $x$ und man kann von ihr wieder ein Differential bilden (s. Abb).

Für dieses Differential kann man formal $\mathrm d^2 y = \mathrm d (hf'(x)) \!\,$ schreiben. Wenn $dx = h$ und $h$ derselbe Wert für verschiedene $x$ ist, ist diese Größe der lineare Anteil des Zuwachses $h f'(x+h)-hf'(x) \!\,$, das heißt, es wird $d^2y = h^2 f''(x) \!\,$. Für höhere Ableitungen gilt dies entsprechend, z. B. $d^3y = h^3 f'''(x) \!\,$.

Historisches

Blaise Pascals Betrachtungen zum Viertelkreisbogen: Quarts de Cercle

Das charakteristische Dreieck

Als Gottfried Wilhelm Leibniz als junger Mann 1673 in Paris war, empfing er eine entscheidende Anregung durch eine Betrachtung Pascals in dessen 1659 erschienener Schrift Traité des sinus des quarts de cercle (Abhandlung über den Sinus des Viertelkreises). Er sagt, er habe darin ein Licht gesehen, das der Autor nicht bemerkt habe. Es handelt sich um folgendes (mit modernen Zeichen geschrieben, siehe Abbildung): Um das statische Moment

$\int \limits_{0}^{\frac {1} {2} a \Pi} y\,ds$

des Viertelkreisbogens bezüglich der x- Achse zu bestimmen, schließt Pascal aus der Ähnlichkeit der Dreiecke

$\Delta x ,\Delta y ,\Delta s$

und

$y, (a-x), a$,

dass sich verhalten

$\Delta s : a = \Delta x :y$,

also

$y \cdot\Delta s = a \cdot\Delta x$,

so dass

$\int \limits_{0}^{\frac {1} {2} a \Pi} y\,ds = \int \limits_{0}^{a} a \,dx = a^2$

Leibniz bemerkte nun - und dies war das „Licht“, das er sah - , dass dieses Verfahren nicht auf den Kreis beschränkt ist, sondern allgemein für jede (glatte) Kurve gilt, sofern der Kreisradius a durch die Länge der Kurvennormalen (die reziproke Krümmung, der Radius des Krümmungskreises) ersetzt wird. Das infinitesimale Dreieck

$\Delta x ,\Delta y ,\Delta s$

ist das berühmte „charakteristische Dreieck“. (Es findet sich auch bei Isaac Barrow zur Tangentenbestimmung.) Es ist sehr bemerkenswert, dass die spätere Leibniz'sche Symbolik der Differentialrechnung (dx, dy, ds) gerade dem Standpunkt dieser „verbesserten Indivisibilienvorstellung“ entspricht.

Ähnlichkeit

Alle Dreiecke aus einem Abschnitt $\Delta s$ der Tangente zusammen mit den zur jeweiligen x-und y-Achse parallelen Stücken $\Delta x$ und $\Delta y$ bilden mit dem Dreieck aus Krümmungskreisradius a, Subnormaler $x-a$ und Ordinate y ähnliche Dreiecke und behalten deren Verhältnisse entsprechend der Steigung der Tangente an den Krümmungskreis in diesem Punkt auch bei, wenn der Grenzwertübergang gemacht wird. Das Verhältnis von $\tfrac{\Delta y}{\Delta x}$ ist ja genau die Steigung von $\Delta s$. Deshalb kann man für jeden Krümmungskreis an einem Punkt der Kurve dessen (charakteristische) Proportionen im Koordinatensystem auf die Differentiale dort übertragen, insbesondere wenn sie als infinitesimale Größen aufgefasst werden.

acta eruditorum

• G. G. L. Nova Methodus Pro Maximis & minimis, itemque tangentibus, …, acta eruditorum, 1684

Neue Methode der Maxima, Minima sowie der Tangenten, die sich weder an gebrochenen, noch an irrationalen Größen stößt, und eine eigentümliche darauf bezügliche Rechnungsart. (Leibniz acta eruditorum 1684)

Figur aus Leibniz acta eruditorum 1684. Nur die große Figur rechts wird hier beschrieben. Seltsamerweise ist dx (rechts oben) senkrecht zu AX (in der Figurmitte von oben nach unten) eingezeichnet.

Erste Seite (nach der Widmung mit Titel und Inhalt)

Gegeben sei eine Achse $AX$ und mehrere Kurven wie $VV, WW, YY, ZZ$. Ihre zur Achse senkrechten Ordinaten, $VX, WX, YX, ZX$ mögen bezüglich $v, w, y, z$ heißen. Der Abschnitt $AX$ auf der Achse möge $x$ heißen. $VB, WC, YD, ZE$ seien die Tangenten und $B, C, D, E$ ihre bezüglichen Schnittpunkte mit der Achse. Nun wähle man nach Belieben eine Strecke und nenne sie $\mathrm dx$. Dann soll diejenige Strecke welche sich zu $\mathrm dx$ verhält wie $v$ (oder $w$ oder $y$ oder $z$) zu $XB$ (oder $XC$ oder $XD$ oder $XE$) mit $\mathrm dv$ (oder $\mathrm dw$ oder $\mathrm dy$ oder $\mathrm dz$) bezeichnet werden und Differenz der $v$ (oder $w$ oder $y$ oder $z$) heißen. Nach diesen Festsetzungen werden die Rechenregeln folgende sein.

Wenn $a$ eine gegebene konstante Größe ist, so wird $\mathrm da$ gleich 0 und $\mathrm d(ax)$ gleich $a\mathrm dx$. Wenn $y$ gleich $v$ ist (d. h. jede Ordinate der Kurve $YY$ gleich der entsprechenden Ordinate der Kurve $VV$), so wird $\mathrm dy$ gleich $\mathrm dv$. Nun Addition und Subtraktion: Wenn $z - y + w + x$ gleich $v$ ist, so wird $\mathrm d(z - y + w + x)$ oder $\mathrm dv$ gleich $\mathrm dz - \mathrm dy + \mathrm dw + \mathrm dx$. Multiplikation: $\mathrm d(xv)$ ist gleich $x\mathrm dv + v\mathrm dx$, das heißt wenn man $y$ gleich $xv$ setzt, so wird $\mathrm dy$ gleich $x\mathrm dv + v\mathrm dx$. Es ist nämlich gleichgültig, ob man den Ausdruck $xv$ oder als Abkürzung dafür den Buchstaben $y$ anwendet. Zu beachten ist, dass bei dieser Rechnung $x$ und $\mathrm dx$ in derselben Weise behandelt werden wie $y$ und $\mathrm dy$ oder ein anderer unbestimmter Buchstabe mit seinem Differential. Zu beachten ist auch, dass es nur mit einer gewissen Vorsicht eine Rückkehr von der Differentialgleichung gibt: darüber werden wir an einer anderen Stelle reden. Nun zur Division ${\rm d} \frac{v} {y}$oder (wenn $z$ gleich $\frac{v} {y}$ gesetzt wird) $\mathrm dz$ ist gleich $\frac {\pm v{\rm d}y \mp y{\rm d}v} {y y}$. Was die Zeichen anbetrifft so ist folgendes wohl zu beachten. Wenn bei der Rechnung für einen Buchstaben einfach sein Differential eingesetzt wird, so werden dieselben Zeichen beibehalten, und für $+z$ wird $+ \mathrm dz$, für $- z$ wird $- \mathrm dz$ geschrieben, wie aus der eben vorhin behandelten Addition und Subtraktion erhellt. Schreitet man aber zur Entwicklung der Werte, das heißt betrachtet man die Beziehung von $z$ zu $x$, dann kommt es zum Vorschein, ob der Wert von $\mathrm dz$ eine positive Größe ist oder kleiner als Null, das heißt negativ. Tritt der letztere Fall ein, dann wird die Tangente $ZE$ vom Punkte $Z$ aus nicht nach $A$ hin gezogen, sondern in der entgegengesetzten Richtung, die von $X$ nach unten weist; dies findet statt, wenn die Ordinaten $z$ mit zunehmenden $x$ abnehmen. Und da die Ordinaten $v$ bald zunehmen, bald abnehmen, so wird $\mathrm dv$ bald positiv, bald negativ sein. Im ersten falle wird die Tangente V1B1 nach $A$ hin, im zweiten V2B2 nach der entgegengesetzten Seite gezogen. Keins von beiden gilt aber an der Zwischenstelle $M$, in dem Augenblick, wo die $v$ weder zunehmen noch abnehmen, sondern im Stillstand begriffen sind. $\mathrm dv$ wird alsdann gleich 0, und es kommt nicht darauf an, ob die Größe positiv oder negativ ist; denn $+ 0$ ist gleich $- 0$. An dieser Stelle ist $v$, das heißt die Ordinate $LM$, ein Maximum (oder, wenn die konvexe Seite der Achse zugekehrt ist ein Minimum), und die Tangente der Kurve in $M$ wird weder in der Richtung von $X$ nach $A$ hinauf gezogen, um sich der Achse zu nähern, noch auch in der entgegengesetzten Richtung, die von $X$ nach unten weist; sie ist vielmehr parallel zur Achse. Wenn $\mathrm dv$ in bezug auf $\mathrm dx$ unendlich ist, dann steht die Tangente senkrecht auf der Achse, das heißt sie ist Ordinate. Wenn $\mathrm dv$ und $\mathrm dx$ gleich sind, so bildet die Tangente mit der Achse einen halben rechten Winkel. Wenn bei zunehmenden Ordinaten auch ihre Inkremente oder Differenzen dv zunehmen (d. h. wenn bei positiv gesetztem $\mathrm dv$ auch die $\mathrm{dd}v$, die Differenzen der Differenzen, positiv sind oder bei negativ gesetztem $\mathrm dv$ auch die $\mathrm{dd}v$ negativ), so kehrt die Kurve der Achse ihre konvexe Seite, sonst ihre konkave Seite zu. Wo aber das Inkrement ein Maximum oder Minimum ist, also die Inkremente aus abnehmenden zunehmende werden oder umgekehrt, da ist ein Wendepunkt, und Konkavität und Konvexität vertauschen sich, vorausgesetzt, dass nicht auch die Ordinaten dort aus zunehmenden abnehmende werden oder umgekehrt; dann würde nämlich die Konkavität oder Konvexität bleiben. Dass aber die Inkremente fortfahren zuzunehmen oder abzunehmen, die Ordinaten jedoch aus zunehmenden abnehmende werden oder umgekehrt, das ist unmöglich. (hier irrt sich Leibniz) Ein Wendepunkt ist daher vorhanden, wenn weder $v$, noch $\mathrm dv$ gleich 0 ist, wohl aber ddv gleich 0. Deshalb hat auch das Problem des Wendepunktes nicht wie das Problem des Maximums zwei, sondern gleich drei Wurzeln. Dies alles hängt vom richtigen Gebrauch der Zeichen ab.

Manchmal aber sind, wie vorhin bei der Division, zweideutige Zeichen anzuwenden, bevor es nämlich feststeht, wie sie entwickelt werden sollen. Und zwar müssen, wenn mit zunehmenden $x$ die$\frac{v} {y}$ zunehmen (abnehmen), die zweideutigen Zeichen ${\rm d} \frac{v} {y}$ in, das heißt in $\frac {\pm v{\rm d}y \mp y{\rm d}v} {y y}$ so entwickelt werden, dass dieser Bruch eine positive (negative) Größe wird. Es bedeutet aber $\mp$ das Entgegengesetzte von $\pm$, so dass, wenn dieses + ist, jenes − oder umgekehrt. Es können auch in derselben Rechnung mehrere Zweideutigkeiten vorkommen, die ich durch Klammern unterscheide. Wenn z. B.

$\frac{v} {y}+\frac{y} {z}+\frac{x} {v} = w$

wäre, so würde sein

$\frac {\pm \, v{\rm d}y \mp y{\rm d}v} {y y} +\frac {(\pm)\, y{\rm d}z (\mp) z{\rm d}y} {z z} +\frac {\left((\pm)\right)\, x{\rm d}v \left((\mp)\right) v{\rm d}x} {x x} = {\rm d} w$

sein, damit nicht die von den verschiedenen Gliedern herrührenden Zweideutigkeiten vermischt werden. Dabei ist zu beachten, dass ein zweideutiges Zeichen mit sich selbst + gibt, mit seinem entgegengesetzten −, während es mit anderen eine neue Zweideutigkeit bildet, die von beiden abhängt. Potenzen:

${\rm d}x^a = a \cdot x^{a-1} {\rm d}x\; .$

Z. B. ist

${\rm d}x^3 = 3 x^2 {\rm d}x \;.$

${\rm d}\frac {1} {x^a} = - \frac {a{\rm d}x} {x^{a+1}} \;.$

Z. B. wird, wenn

$w = \frac {1} {x^3} \;,$

ist,

${\rm d}w = -\frac {3{\rm d}x} {x^4}\;.$

Wurzeln:

${\rm d}\sqrt[b]{x^a} = \frac {a} {b} {\rm d} x \; \sqrt[b]{x^{a-b}}.$

(Hieraus folgt

${\rm d}\sqrt[2]{y} = \frac {{\rm d}y} {2\sqrt[2]{y}}\;;$

denn a ist in diesem Falle 1, und b ist 2, also

$\frac {a}{b}\sqrt[b]{x^{a-b}}$

gleich

$\frac {1} {2} \sqrt[2]{y^{-1}}\;;$

nun ist $y^{-1}$ dasselbe wie $\frac {1} {y}$ nach der Natur der Exponenten einer geometrischen Reihe, und $\sqrt[2]{\frac{1} {y}},$ ist $\frac{1} {\sqrt[2]{ y}}\;.$ )

${\rm d}\frac{1} {\sqrt[b]{x^a}} = - \frac {a{\rm d} x} {b\sqrt[b]{x^{a+b}}} \;.$

Es hätte aber die Regel der ganzen Potenz genügt, um sowohl die Brüche als auch die Wurzeln zu erledigen; denn eine Potenz wird ein Bruch, wenn der Exponent negativ ist, und sie verwandelt sich in eine Wurzel, wenn der Exponent gebrochen ist. Ich habe aber jene Folgerungen lieber selbst gezogen, als sie anderen zu ziehen überlassen, da sie sehr allgemein sind und häufig vorkommen. Auch ist es bei einer an sich verwickelten Sache besser, für Leichtigkeit zu sorgen. Kennt man, wenn ich so sagen soll, den obigen Algorithmus dieses Kalküls, den ich Differentialrechnung nenne, so lassen sich alle anderen Differentialgleichungen durch ein gemeinsames Rechnungsverfahren finden, es lassen sich die Maxima und Minima sowie die Tangenten erhalten, ohne dass es dabei nötig ist, Brüche oder Irrationalitäten oder andere Verwicklungen zu beseitigen, was nach den bisher bekannt gegebenen Methoden doch geschehen musste, Der Beweis alles dessen wird für einen in diesen Dingen Erfahrenen leicht sein, wenn er nur den bisher nicht genug erwogenen Umstand beachtet, dass man $\mathrm dx, \mathrm dy, \mathrm dv, \mathrm dw, \mathrm dz$ als proportional zu den augenblicklichen Differenzen, das heißt Inkrementen oder Dekrementen der $x, y, v, w, z$ (eines jeden in seiner Reihe) betrachten kann. So kommt es, dass man zu jeder vorgelegten Gleichung ihre Differentialgleichung aufschreiben kann. Dies geschieht indem man für jedes Glied (d. h. jeden Bestandteil, der durch bloße Addition oder Subtraktion zur Herstellung der Gleichung beiträgt) einfach das Differential des Gliedes einsetzt, für eine andere Größe jedoch (die nicht selbst ein Glied ist, sondern zur Bildung eines Gliedes beiträgt) ihr Differential anwendet, um das Differential des Gliedes selbst zu bilden, und zwar nicht ohne weiteres, sondern nach dem oben vorgeschriebenen Algorithmus. Die bisher bekannt gemachten Methoden haben aber einen solchen Übergang nicht. Sie wenden nämlich meistens eine Strecke wie $\mathrm DX$ oder eine andere von dieser Art an, nicht aber die Strecke $\mathrm dy$, die die vierte Proportionale zu $\mathrm DX, \mathrm DY, \mathrm dx$ ist, und dadurch wird alles verwirrt. Daher schreiben sie vor, dass Brüche und Irrationalitäten (worin Unbestimmte vorkommen) zuvor beseitigt werden. Es ist auch klar, dass unsere Methode die transzendenten Linien beherrscht, die sich nicht auf die algebraische Rechnung zurückführen lassen oder von keinem bestimmten Grade sind, und zwar gilt das ganz allgemein, ohne besondere nicht immer zutreffende Voraussetzungen, Man muss nur ein für allemal festhalten, dass eine Tangente zu finden so viel ist wie eine Gerade zeichnen, die zwei Kurvenpunkte mit unendlich kleiner Entfernung verbindet, oder eine verlängerte Seite des unendlicheckigen Polygons, welches für uns mit der Kurve gleichbedeutend ist. Jene unendlich kleine Entfernung lässt sich aber immer durch irgendein bekanntes Differential, wie $\mathrm dv$, oder durch eine Beziehung zu demselben ausdrücken, das heißt durch eine gewisse bekannte Tangente. Wäre insbesondere $y$ eine transzendente Größe, zum Beispiel die Ordinate der Zykloide und käme sie in der Rechnung vor, mit deren Hilfe $z$, die Ordinate einer anderen Kurve bestimmt wäre, und verlangte man dz oder durch dessen Vermittlung die Tangente der zweiten Kurve, so wäre unter allen Umständen dz durch $\mathrm dy$ zu bestimmen, weil man die Tangente der Zykloide hat. Die Tangente der Zykloide selbst aber ließe sich, wenn wir annehmen, dass wir sie noch nicht hätten, in ähnlicher Weise durch Rechnung finden aus der gegebenen Eigenschaft der Kreistangenten…

Es folgen ein formales Beispiel, ein dioptrisches der Lichtbrechung, eines, das den Satz von Pythagoras nutzt, und eines, das den Logarithmus behandelt.

Notiz von Newton

Hier noch eine aufschlussreiche Notiz von Newton: (Abhandlung über die Quadratur der Kurven, 1704, 10. Absatz):

Die Größe $x$ möge gleichförmig fließen, und es sei die Fluxion (das Differential $\mathrm df$)der Größe $x^n$ zu finden. In der Zeit, in der $x$ beim Fließen zu $x + o$ wird, wird $x^n$ zu $(x+o)^n$ ($o$ bedeutet bei Newton das infinitesimale $\Delta x$ oder in moderner Notation $h$, allerdings ist bei ihm durch den Begriff des Fließens das Zeitliche eingegangen und es ist die unabhängige Variable nicht $x$ sondern $t$ und so kommt sein Differential $\mathrm dt$ zustande.) d. h. nach der Methode der unendlichen Reihen zu

$x^n + nox^{n-1} + \frac {n^2 - n} {2} o^2 x^{n-2} + \dots$

Die Zunahmen

$o$ und $nox^{n-1} + \frac {n^2 - n} {2} o^2 x^{n-2} + \mathrm \dots$

verhalten sich zueinander wie:

$1$ und $nx^{n-1} + \frac {n^2 - n} {2} o x^{n-2} + \dots$

Nun mögen jene Zunahmen verschwinden. Dann wird ihr letztes Verhältnis $1 \mathrm{\;und\;} nx^{n-1}$ sein. Es verhält sich daher die Fluxion der Größe $x$ (das Differential $\mathrm dx$ oder $\mathrm dt$) zu der Fluxion der Größe $x^n$ wie 1 zu $nx^{n-1}$. Oder:

$\frac {\mathrm{Fluxion}(x)} {\mathrm{Fluxion}(x^n)} = \frac {1} {nx^{n-1}}.$

Cauchys Differentialbegriff

In den 1980er Jahren fand in Deutschland eine Auseinandersetzung statt, inwieweit die Grundlegung der Analysis bei Cauchy logisch einwandfrei ist. Detlef Laugwitz versucht mit Hilfe einer historischen Lesart Cauchys, den Begriff unendlich kleiner Größen für seine $\Omega$ Zahlen fruchtbar zu machen, findet aber daraus resultierend bei Cauchy Unstimmigkeiten. Detlef Spalt korrigiert den (ersten!) historischen Lesansatz der cauchyschen Arbeiten und fordert die Verwendung von Begriffen aus Cauchys Zeit und nicht heutigen Begriffen zum Nachweis seiner Sätze und kommt zu dem Ergebnis, dass Cauchys Grundlegung der Analysis logisch einwandfrei ist, jedoch bleiben weiterhin die Fragen nach der Behandlung unendlich kleiner Größen offen.

Die Differentiale bei Cauchy sind endlich und konstant $\mathrm d x =h$ ($h$ endlich). Der Wert der Konstanten ist nicht näher bestimmt.

$\Delta x$ ist bei Cauchy unendlich klein und veränderlich.

Die Beziehung zu $h$ ist $\Delta x=i=\alpha h$, wobei $h$ endlich und $\alpha$ infinitesimal (unendlich klein) ist.

Ihr geometrisches Verhältnis ist als

$\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}=\lim_{\alpha=0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$

bestimmt. Dieses Verhältnis unendlich kleiner Größen, oder genauer die Grenze geometrischer Differenzenverhältnisse abhängiger Zahlgrößen, einen Quotienten, kann Cauchy auf endliche Größen übertragen.

Differentiale sind endliche Zahlgrößen, deren geometrische Verhältnisse streng gleich den Grenzen der geometrischen Verhältnisse sind, welche aus den unendlich kleinen Zuwächsen der vorgelegten unabhängigen Veränderlichen oder der Veränderlichen der Funktionen gebildet sind. Cauchy hält es für wichtig Differentiale als endliche Zahlgrößen zu betrachten.

Der Rechner bedient sich der Unendlich kleinen als Vermittelnden, welche ihn zu der Kenntnis der Beziehung führen müssen, die zwischen den endlichen Zahlgrößen bestehen; und nach Cauchys Meinung dürfen die Unendlich kleinen in den Schlussgleichungen, wo ihre Anwesenheit sinnlos, zwecklos und nutzlos bliebe, nie zugelassen werden. Außerdem: Wenn man die Differentiale als beständig sehr kleine Zahlgrößen betrachtete, dann gäbe man dadurch den Vorteil auf, der darin besteht, dass man unter den Differentialen von mehreren Veränderlichen das eine als Einheit nehmen kann. Denn um eine klare Vorstellung einer beliebigen Zahlgröße auszubilden, ist es wichtig, sie auf die Einheit ihrer Gattung zu beziehen. Es ist also wichtig, unter den Differentialen eine Einheit auszuwählen.

Insbesondere fällt für Cauchy die Schwierigkeit weg, höhere Differentiale zu definieren. Denn Cauchy setzt $\mathrm d x=h$ nachdem er die Rechenregeln der Differentiale durch Übergang zu den Grenzen erhalten hat. Und da das Differential einer Funktion der Veränderlichen $x$ eine andere Funktion dieser Veränderlichen ist, kann er $y$ mehrmals differenzieren und erhält in dieser Weise die Differentiale verschiedener Ordnungen.

$\mathrm d y=\mathrm d y = h \cdot y'=y'\mathrm d x$

$\mathrm {dd} y=\mathrm d^2 y = h\mathrm d y'=y''h^2$

$\mathrm {ddd} y=\mathrm d^3 y = h^2\mathrm d y''=y'''h^3$

…

Anmerkung 1

Leibniz wählt die Einheit, indem er $\mathrm d x=\mathrm{const.}$ und $\mathrm{dd}x=0$ setzt.

Anmerkung 2

Genauso wird, wenn man $x$ mit der identischen Funktion identifiziert, das Differential von $x$ die „Einheit“. Ist $f'(x)\!\,$ die Ableitung der Funktion $f$, so ist die lineare Funktion

$\mathrm d f(x):h\mapsto f'(x)h$ das Differential von $f$ an der Stelle $x$.

Also für $f:x\mapsto x$ ist insbesondere $\mathrm d(f(x(h))=\mathrm dx(h)=h$ weshalb die Schreibweise

$\mathrm df(x)=f'(x) \mathrm dx \!\,$

oder

$f'(x)=\frac {\mathrm d f(x)}{\mathrm d x}$ und die Bezeichnung Differentialquotient berechtigt sind.

Notation

Differential der unabhängigen Variable

Sei $x$ die unabhängige Variable, so gilt für das Differential von $x$:

• $\mathrm dx$ = konst.
• $\mathrm{dd}x = 0$.

($\mathrm{dd}x$ steht für $\mathrm d(\mathrm dx)$, das Differential des Differentials, das ist $\mathrm{d}x^2$ ohne Klammern ($( \mathrm{d}x )^2$. Modern wird für die abhängige Variable aber $\mathrm{d^2}y$ geschrieben.) Die Bezeichnung der Variable ist beliebig. Newton nennt sie $t$. Man kann aber auch $z$ oder $y$ nehmen und muss dann dabei bleiben.

Konstante und konstanter Faktor

• $\mathrm d(\mathrm{konst.}) = 0$; und
• $\mathrm d(ax) = a\mathrm dx$ ;

$a$ ist konstant, weswegen $x\mathrm da = 0$ (d. i. eine Hälfte der Produktregel unter Multiplikation.)

Addition und Subtraktion

Wenn $z - y + w + x$ gleich $v$ ist, so wird

• $\mathrm dv = \mathrm d(z - y + w + x) = \mathrm dz - \mathrm dy + \mathrm dw + \mathrm dx$.

Multiplikation

Vergleiche die Darstellung unter Division.

$\mathrm d(xv)$ ist gleich $x\mathrm dv + v\mathrm dx$

$\frac {\mathrm d\left( xv \right)} {xv} = \frac {\mathrm d v} {v} + \frac {\mathrm d x} {x}$

Verallgemeinerung der Produktregel

Verallgemeinert wird die Produktregel:

$\mathrm d(x^n) = n \cdot \mathrm dx \cdot x^{n-1}$

was in der Physik beispielsweise so vorkommt:

$\frac 1 2 \mathrm dv^2 = v \mathrm dv$

und modern

$\frac 1 2 (v^2)'= vv'$

geschrieben wird und der Ableitung der Potenz entspricht, aber induktiv bewiesen werden kann.

Partielle Integration

Von hier kommt man zur partiellen Integration, indem man diese „Produktregel“ umschreibt:

$\mathrm d(xv)= x\mathrm dv + v\mathrm dx$

$x\mathrm dv=\mathrm d(xv) - v\mathrm dx$

und integriert:

$\int x\mathrm dv= xv - \int v\mathrm dx$

Wobei hier x nicht unbedingt die unabhängige Variable sein muss, weil sonst $\mathrm d x =konst.$ und somit nur eingeschränkt x' ist.

Division

Vergleiche die Darstellung unter Multiplikation.

$\frac {{\rm d}\left(\frac{x}{v} \right)} {\frac{x}{v}} = \frac{{\rm d} x}{x} - \frac{{\rm d}v}{v}$

Wir setzen

$\frac {x} {v}=f$

somit

$x = f \cdot v$

Und nach der Produktregel:

${\rm d}x = f \cdot {\rm d}v + v \cdot {\rm d}f$

womit

${\rm d}f= {\rm d} \left(\frac{x} {v}\right) = \frac {{\rm d}x -f \cdot {\rm d}v} {v}=\frac {{\rm d}x - \frac {x} {v}\cdot {\rm d}v} {v}= \frac{v} {v} \cdot \frac {{(\rm d}x - \frac {x} {v} \cdot {\rm d}v)} {v} = \frac {v{\rm d}x - x{\rm d}v} {v^2}$

In Form einer Schulregel:

$\frac {\mathrm{Nenner\ mal\ Ableitung\ Z\ddot{a}hler} - \mathrm{Z\ddot{a}hler\ mal\ Ableitung\ Nenner}} {\mathrm{Nenner\ zum\ Quadrat}}$

Kettenregel

Die verschachtelten Funktionen ${\mathrm f}(x)={\mathrm g}\left(\phi(x)\right)$ und deren Ableitung ${\mathrm f'}(x)={\mathrm g'}(\phi)\cdot \phi '(x)$

werden in der suggestiven Leibniz'schen Bezeichnung zu:

$\frac {\mathrm dy} {\mathrm dx}=\frac {\mathrm dy} {\mathrm d\phi}\cdot\frac {\mathrm d\phi} {\mathrm dx}$

Notationen der Ableitung

Verantwortlicher	1. Ableitung	2. Ableitung	$n$-te Ableitung	Bemerkung
Newton	$\dot x$	$\ddot x$		heutzutage wird diese Schreibweise für die $n$-te Ableitung nach der Zeit in der Physik verwendet, sowie für eine koordinatenunabhängige Parameterdarstellung.
Leibniz	$\frac {\mathrm dy} {\mathrm dx} = \frac {\mathrm d f(x)} {\mathrm dx}= \frac \mathrm d {\mathrm dx} f(x)$	$\frac {\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2} = \frac {\mathrm d^2 f(x)} {\mathrm dx^2}= \frac {\mathrm d^2} {\mathrm dx^2} f(x)$ oder $\frac {\mathrm d y'}{\mathrm dx} = \frac {\mathrm d} {\mathrm dx} \left(\frac {\mathrm d y}{\mathrm d x}\right)$	$\frac {\mathrm d^ny} {\mathrm dx^n}$	Die Klammern um $(\mathrm dx)^n = \mathrm dx^n$ werden weggelassen.
Lagrange	$y' = f'(x)\!\,$ (sprich: $f$ Strich von $x$)	$y'' = f''(x)\!\,$ (sprich: $f$ Zweistrich von $x$)	$f^{(n)}(x)\!\,$	Man sieht die funktionale Abhängigkeit.
Cauchy	$\mathrm {D}f(x)$ bzw. $\mathrm {D}_xf(x)\!\,$	$\mathrm {D}^{(2)}f(x)$ bzw. $\mathrm {D}_x^{(2)}f(x)$	$\mathrm {D}^{(n)}f(x)$ bzw. $\mathrm {D}_x^{(n)}f(x)$	$\mathrm D$ heißt Derivierte (besonders im englischsprachigen Raum)

Erweiterung und Varianten

Anstatt $\mathrm d$ finden sich folgende Symbole, die Differentiale bezeichnen:

• Mit $\partial$ wird ein partielles Differential bezeichnet
• Mit $\delta$ (dem griechischen kleinen Delta) wird eine virtuelle Verschiebung, die Variation eines Ortsvektors bezeichnet. Sie hängt also mit dem partiellen Differential nach den einzelnen Raumdimensionen des Ortsvektors zusammen.

Totales Differential

Eine Mischform verschiedener Differentiale und einer Summe anstatt eines Integralzeichens weist das totale Differential oder vollständige Differential auf:

${\rm d}f=\sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}\, {\mathrm d}x_i\,\,.$

Die partiellen Differentiale erhält man, indem man das zu betrachtende ${\mathrm d}x_i$ gleich Eins setzt, alle anderen gleich Null. Hat man beispielsweise n=2, so er hält man das partielle Differential nach $\partial x_1$, indem man ${\mathrm d}x_1 = 1$ setzt und ${\mathrm d}x_2 = 0$. Ob sich aus den einzelnen partiellen Differentialen ein totales bilden lässt, bedarf immer einer gesonderten Klärung.

Virtuelle Verschiebung, Variationsableitung

Mathematisch gesprochen werden bei einer virtuellen Verschiebung die Ortskoordinaten des physikalischen Systems bei festgehaltener Zeit t variiert. Die Variation des Ortsvektors $\vec{r}$, also die virtuelle Verschiebung des betreffenden Systempunkts ist

$\delta\vec{r}=\sum_{i=1}^n \frac{\partial\vec{r}}{\partial q_i}\delta q_i$.

Das Symbol $\delta$ wird also für die Variationsableitung benutzt.

Der Vektor wird als Funktion aufgefasst. Ebenso werden die einzelnen Ableitungen nach den Richtungen ermittelt, indem man wie oben ein $\delta q_i$ gleich Eins setzt und alle anderen gleich Null.

Nabla-Operator

Der Nablaoperator ist ein vektorieller Differentialoperator, als Zeichen $\nabla$. Er summiert die Produkte der partiellen Ableitungen der verschiedenen unabhängigen Richtungen mit den dazugehörigen Einheitsvektoren. Sein Argument erscheint dann jeweils bei den partiellen Differentialen.

Literatur

• Gottfried Leibniz, Sir Isaac Newton: Über die Analysis des Unendlichen – Abhandlung über die Quadratur der Kurven. Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Band 162, Verlag Harri Deutsch, ISBN 3-8171-3162-3
• Oskar Becker: Grundlagen der Mathematik. Suhrkamp Verlag, ISBN 3-518-07714-7
• Detlef Spalt: Die Vernunft im Cauchy-Mythos. Verlag Harri Deutsch, ISBN 3-8171-1480-X (Spalt problematisiert die Übernahme moderner Begriffe auf frühere Analysis, stellt fest, dass Cauchys Aufbau der Analysis logisch einwandfrei ist, thematisiert benachbarte Begriffe und lässt Cauchy virtuelle Diskussionen mit wesentlich jüngeren Mathematikern führen über deren begriffliche Genauigkeit, z. B. Abel etc.)
• K. Popp, E. Stein (Hrsg.): Gottfried Wilhelm Leibniz, Philosoph, Mathematiker, Physiker, Techniker. Schlütersche GmbH & Co. KG, Verlag und Druckerei, Hannover 2000, ISBN 3-87706-609-7
• Bos, Henk, Differentials, Higher-Order Differentials and the Derivative in the Leibnizian Calculus, Archive for History of Exact Sciences 14, 1–90. Heftig diskutierte Veröffentlichung aus den 1970ern, um Kontinuum und Unendlichkeit.