Differenzenquotient

Der Differenzenquotient ist ein Begriff aus der Mathematik. Er beschreibt das Verhältnis der Veränderung einer Größe zu der Veränderung einer anderen, von der die erste abhängt. In der Analysis verwendet man Differenzenquotienten, um die Ableitung einer Funktion zu definieren. In der numerischen Mathematik werden sie zum Lösen von Differentialgleichungen und für die näherungsweise Bestimmung der Ableitung einer Funktion benutzt.

Definition

Veranschaulichung des Differenzenquotienten: Er entspricht der Steigung der blauen Gerade

Ist $f$ eine Funktion und $[x_0;x_1] \subset D_f$, so nennt man den Quotienten

$\varphi(x_1,x_0) = \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$

Differenzenquotient von $f$ im Intervall $[x_0;x_1]$.

Häufig setzt man $\Delta x := x_1-x_0\!\,$ und $\Delta y := f\left( x_1\right) - f\left( x_0 \right)$. Damit ergibt sich die alternative Schreibweise

$\frac {\Delta y} {\Delta x}=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$

Geometrisch entspricht der Differenzenquotient der Steigung der Sekante des Graphen von $f$ durch die Punkte $(x_0,f(x_0))$ und $(x_1, f(x_1))$.

Differentialrechnung

Differenzenquotienten bilden zusammen mit dem Grenzwertbegriff die theoretische Grundlage der Differentialrechnung. Den Grenzwert des Differenzenquotientens für $\displaystyle x_1\rightarrow x_0$ bezeichnet man als Differentialquotienten oder Ableitung der Funktion an der Stelle $x_0$ (kurz: $f'(x_0)$), sofern dieser Grenzwert existiert. Das Berechnen dieses Grenzwerts nennt man Ableiten oder Differenzieren. Die Tabelle zeigt die Ableitungen einiger Funktionen:

Funktion	$\displaystyle f(x)$	Differenzenquotient $\frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}$	Differentialquotient $f'(x_0)=\lim_{x_1\rightarrow x_0} \frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}$	Umformung
Konstante Funktion	$\displaystyle c$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 0$	$\frac{c-c}{x_1-x_0}=0$
(Homogene) Lineare Funktion	$\displaystyle a \cdot x$	$\displaystyle a$	$\displaystyle a$	$\frac {a \cdot x_1 - a \cdot x_0}{x_1-x_0}= \frac {a(x_1-x_0)}{x_1-x_0}=a$
Quadratfunktion	$\displaystyle x^2$	$\displaystyle x_1 + x_0$	$\displaystyle 2 \cdot x_0$	$\frac {x_1^2 - x_0^2}{x_1-x_0}=\frac {(x_1-x_0) \cdot (x_1+x_0)}{x_1-x_0} = x_1+x_0$
Kubikfunktion	$\displaystyle x^3$	$\displaystyle x_1^2 + x_1 \cdot x_0 + x_0^2$	$\displaystyle 3 \cdot x_0^2$	$\frac {x_1^3 - x_0^3}{x_1-x_0}=\frac {(x_1-x_0) \cdot (x_1^2 + x_1 \cdot x_0 + x_0^2)}{x_1-x_0}$
Allgemeine Potenz	$\displaystyle x^n$	$\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}{x_1^i\cdot x_0^{n-1-i}}$	$\displaystyle n \cdot x_0^{n-1}$

Numerische Mathematik

Bei differenzierbaren Funktionen kann der Differenzenquotient als Näherung für die lokale Ableitung benutzt werden. In der Finite-Differenzen-Methode wird diese Eigenschaft zur Lösung von Differentialgleichungen benutzt. Ebenso wird dies für die numerische Differentiation von Funktionen verwendet.

Dabei ist der Differenzenquotient nicht auf die erste Ableitung beschränkt. Es existieren Differenzenquotienten für höhere sowie partielle Ableitungen.

Beispiel

Es sei $y = f \left(x\right) = x^2$.

Der Graph von $f$ ist eine Normalparabel. Wollen wir die Ableitung z.B. in der Nähe der Stelle $x = 12$ ungefähr berechnen, so wählen wir für $\Delta x$ einen kleinen Wert, z.B. 0,001. Das ergibt als Differenzenquotienten im Intervall $[12;12,001]$ den Wert $\tfrac{144{,}024001 - 144}{0{,}001} = 24{,}001$. Dieser ist die Sekantensteigung des Funktionsgraphen im Intervall $[12; 12,001]$ und eine Näherung der Steigung der Tangente an der Stelle $12$.

Varianten

In der Praxis werden verschiedene Varianten des Differenzenquotienten verwendet, die sich in der Definition von $\Delta y$, etwa um die Genauigkeit bei der Bestimmung des lokalen Wachstums, z.B. der Sekantensteigung eines Graphen, zu verbessern oder um an den Randstellen einer Funktion deren Sekantensteigung „rückwärts“ in Richtung des Inneren ihres Definitionsbereichs zu ermitteln.

Vorwärtsdifferenzenquotient

Der oben definierte Ausdruck

$\frac{\Delta y}{\Delta x} := \frac {f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

wird auch Vorwärtsdifferenzenquotienten genannt, weil zur Bestimmung des zweiten Funktionswertes, der zur Bildung von $\Delta y$ notwendig ist, von $x$ aus nach rechts, also „vorwärts“ gegangen wird.

Rückwärtsdifferenzenquotient

Analog bezeichnet man den Ausdruck

$\frac{\Delta y}{\Delta x} := \frac {f(x) - f(x - \Delta x)}{\Delta x}$

als Rückwärtsdifferenzenquotienten, da zur Differenzbildung von $x$ aus nach links, also „rückwärts“ gegangen wird, um den zweiten Funktionswert zu erhalten.

Zentraler Differenzenquotient

Gebräuchlich ist auch der zentrale Differenzenquotient, den man z.B. durch Mittelwertbildung des Vorwärtsdifferenzen- und Rückwärtsdifferenzenquotienten erhält. Er ist durch

$\frac{\Delta y}{\Delta x} := \frac{f(x + \Delta x) - f(x - \Delta x)}{2\Delta x}$

gegeben. Bei ihm liegen die zur Differenzbildung verwendeten Stellen symmetrisch um den $x$-Wert, für den die Ableitung angenähert werden soll.

Im Gegensatz zu den beiden vorherigen Differenzenquotienten, deren Fehlerterme beim Annähern der ersten Ableitung an der Stelle $x$ nur von der Klasse $\mathcal{O}(\Delta x)$ sind, falls die Funktion zweimal differenzierbar ist, liegt der Fehler des zentralen Differenzenquotienten in $\mathcal{O}(\Delta x^2)$, falls die Funktion zusätzlich dreifach differenzierbar in $x$ ist. Zur $\mathcal{O}$-Notation siehe Landau-Symbole.

Höhere Differenzenquotienten

Ebenso wie die erste Ableitung durch Differenzenquotienten angenähert werden kann, gilt dies auch für höhere Ableitungen, die über Differenzenquotienten höherer Ordnung approximierbar sind.

Für die zweite Ableitung kann zum Beispiel der Zusammenhang

$\frac{\Delta^2 y}{\Delta x^2} := \frac{f(x+\Delta x) + f(x-\Delta x) -2f(x)}{\Delta x^2} = f''(x) + \mathcal{O}(\Delta x^2)$

verwendet werden, viermalige Differenzierbarkeit der Funktion vorausgesetzt. Die hinter der $\mathcal O$-Notation stehende Konstante kann dabei von $x$ abhängig sein.