Digamma-Funktion

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Die Digamma-Funktion  \psi(x) in der komplexen Zahlenebene.

Die Digamma-Funktion oder Psi-Funktion ist in der Mathematik eine Funktion, die definiert wird als:

\psi(x) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\ln\Gamma(x) = \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}

Sie ist also die logarithmische Ableitung der Gammafunktion. Die Digamma-Funktion ist die erste der Polygammafunktionen. Bis auf ihre Pole erster Ordnung für negative ganze Argumente ist sie (genau wie die Gammafunktion) in ganz \C holomorph.

Berechnung[Bearbeiten]

Die Beziehung zu der harmonischen Reihe[Bearbeiten]

Die Digammafunktion, welche meist als ψ0(x), ψ0(x) oder \digamma (nach der Form des vorklassischen griechischen Buchstaben Ϝ digamma) dargestellt wird, steht mit der harmonischen Reihe in folgender Beziehung:

\psi(n) = H_{n-1}-\gamma\!

wobei Hn das n-te Element der harmonischen Reihe und γ die Euler-Mascheroni-Konstante ist. Für halbzahlige Werte kann sie geschrieben werden als:

\psi\left(n+{\frac{1}{2}}\right) = -\gamma - 2\ln 2 + \sum_{k=1}^n \frac{2}{2k-1}.

Integral-Darstellung[Bearbeiten]

Die Digammafunktion kann wie folgt als Integral dargestellt werden:

\psi(x) = \int_0^{\infty}\left(\frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-xt}}{1 - e^{-t}}\right)\, \mathrm dt.

Dies kann auch geschrieben werden als:

\psi(s+1)= -\gamma + \int_0^1 \frac {1-x^s}{1-x} \, \mathrm dx.

Dies folgt aus der Formel für das Euler-Integral für die harmonische Reihe.

Taylor-Reihe[Bearbeiten]

Durch Reihenentwicklung der Taylor-Reihe um den Punkt z=1 kann die Digammafunktion wie folgt dargestellt werden:

\psi(z+1)= -\gamma -\sum_{k=1}^\infty \zeta (k+1)\;(-z)^k.

Sie konvergiert für |z|<1. Dabei ist \zeta(n) die Riemannsche ζ-Funktion. Die Reihe kann leicht von der zugehörigen Taylor-Reihe für die Hurwitzsche ζ-Funktion hergeleitet werden.

Binomische Reihe[Bearbeiten]

Die Binomische Reihe für die Digammafunktion folgt aus dem Euler-Integral

\psi(s+1)=-\gamma-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k} {s \choose k},

wobei \tbinom sk der verallgemeinerte Binomialkoeffizient ist.

Funktionalgleichung[Bearbeiten]

Die Digammafunktion genügt folgender Funktionalgleichung, welche direkt aus der logarithmischen Ableitung der Gammafunktion hergeleitet werden kann:

\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }.

Hiermit kann allerdings nicht ψ(1/2) berechnet werden; dieser Wert ist unten angegeben.

Rekursionsformel und Summenausdrücke[Bearbeiten]

Die Digamma-Funktion genügt der Rekursionsformel

\psi(x + 1) = \psi(x) + \frac{1}{x}.

oder

\Delta [\psi] (x) = \frac{1}{x},

wobei Δ der rechtsseitige Differenzoperator ist. Dies erfüllt die Rekursionsbeziehung der harmonischen Reihe. Daraus folgt

 \psi(n)\ =\ H_{n-1} - \gamma.

Allgemeiner gilt:

\psi(x) = -\gamma + \sum_{k=1}^\infty 
\left( \frac{1}{k}-\frac{1}{x+k-1} \right).

Aus der Gaußschen Produktdarstellung der Gammafunktion lässt sich äquivalent dazu

\psi(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\ln n-\sum\limits_{k=0}^n\frac1{x+k}\right).

schlussfolgern.

Quotientenbeziehung zur Gammafunktion[Bearbeiten]

Für den Quotienten aus Digammafunktion und Gammafunktion liefert die Produktdarstellung den Ausdruck

\frac{\psi(x)}{\Gamma(x)}=
\lim\limits_{n\to\infty}
\frac{\ln n\prod\limits_{k=0}^n(x+k)-\sum\limits_{j=0}^n\prod\limits_{k=0\atop k\ne j}^n(x+k)}{n!\,n^x}.

Bei positiven ganzen Zahlen m\ge 0, bei deren negativen Werten sowohl Digamma- als auch Gammafunktion divergieren, folgt dann

\frac{\psi(-m)}{\Gamma(-m)}=
-\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\prod\limits_{k=0\atop k\ne m}^n(k-m)}{n!\,n^{-m}}=
(-1)^{m-1} m! \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^m}{\prod\limits_{k=n-m+1}^n k}=(-1)^{m-1} m!
.

Mit Hilfe der Funktionalgleichung für die Gammafunktion findet man sogar heraus, dass der Wert des Quotienten ausschließlich vom Argument der Gammafunktion abhängt, also gilt für ganzzahlige m,n\ge 0 schließlich

\frac{\psi(-m)}{\Gamma(-n)}=(-1)^{n-1} n!.

Gaußsche Summe[Bearbeiten]

Die Digammafunktion hat eine Gaußsche Summe der Form

-\frac1{\pi k} \sum_{n=1}^k 
\sin\frac{2\pi nm}{k}\, \psi\left(\frac{n}{k}\right) =
\zeta\left(0,\frac{m}{k}\right) = -\mathrm{B}_1 \left(\frac{m}{k}\right) = 
\frac{1}{2} - \frac{m}{k}

für natürliche Zahlen 0<m<k. Dabei ist ζ(s,q) die Hurwitzsche ζ-Funktion und \mathrm{B}_n(x) das Bernoulli-Polynom. Ein Spezialfall des Multiplikationstheorem ist

\sum_{n=1}^k \psi \left(\frac{n}{k}\right)
 =-k(\gamma+\ln k).

Gaußsches Digamma-Theorem[Bearbeiten]

Für ganze Zahlen m und k (mit m < k), kann die Digammafunktion mit elementaren Funktionen ausgedrückt werden

\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) 
-\frac{\pi}{2}\cot\frac{m\pi}{k}
+2\sum_{n=1}^{\left[\frac{k-1}2\right]}
\cos\frac{2\pi nm}{k}\,
\ln\sin\frac{n\pi}{k}.

Besondere Werte[Bearbeiten]

Die Digamma-Funktion hat unter anderem folgende besondere Werte:

 \psi\,(1) = -\gamma\,\!
 \psi\left(\tfrac12\right) = -2\ln2 - \gamma
 \psi\left(\tfrac13\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\tfrac32\ln3 - \gamma
 \psi\left(\tfrac14\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln2 - \gamma
 \psi\left(\tfrac16\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln2 -\tfrac32\ln3 - \gamma

Ableitung[Bearbeiten]

Die Ableitung der Digammafunktion ist nach deren Definition die Trigamma-Funktion

\psi_1(x)=\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\ln\Gamma(x),

die zweite Polygammafunktion.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]