Dilatation (Geometrie)
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Dilatation (oder Zentralstreckung) nennt man in der affinen Geometrie eine affine Kollineation (genauer: Homothetie) α genau dann, falls folgende Eigenschaften gelten:
- Geraden werden durch die Dilatation auf parallele Geraden abgebildet.
- Es gibt einen Fixpunkt der Dilatation, der auch als das Zentrum der Dilatation bezeichnet wird.
[Bearbeiten] Existenz einer Dilatation
Mit den Axiomen der affinen Geometrie lässt sich beweisen, dass es höchstens eine Dilatation mit dem Zentrum Z gibt, die einen gegebenen Punkt A auf einen gegebenen Punkt B abbildet, falls Z, A und B kollinear sind.
Die Existenz genau einer solchen Dilatation ist äquivalent zur Gültigkeit der großen affinen Desargues-Aussage.
[Bearbeiten] Euklidische Geometrie
Betrachtet man die euklidische Geometrie, die im Sinne von Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie aufgefasst wird, so sind zentrische Streckungen Dilatationen, aber keine zentrischen Streckungen mit Verschiebung.
