Dirac-Kamm

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Dirac-Kamm

Der Dirac-Kamm (auch Dirac-Stoß-Folge oder Schah-Funktion) beschreibt eine periodische Folge von Dirac-Stößen. Anschaulich besitzt er die Form eines Kamms und wird wegen dieser Ähnlichkeit auch häufig mit dem kyrillischen Buchstaben Ш (Schah) symbolisiert.

Anwendung findet der Dirac-Kamm in der Mathematik und der Signalverarbeitung mittels Fourier-Analysis.

Definition[Bearbeiten]

Der Dirac-Kamm stellt eine periodische Schwartz-temperierte Distribution dar, die von der diracschen Delta-Distributionen Gebrauch macht.

\Delta_T(t) = \sum_{n\in\mathbb Z} \delta(t - n T)

für eine Periode T. Anschaulich ist der Dirac-Kamm also aus unendlich vielen Dirac-Stößen zusammengesetzt, die im Abstand T zueinander stehen.

Für die Anwendung des Dirac-Kamms auf eine Testfunktion gilt also

 \forall \phi\in C_c^\infty(\mathbb R)=\mathcal D(\mathbb R) ist \textstyle \Delta_T \phi:=\sum_{n\in\mathbb Z}\phi(nT).

Fourier-Transformation des Dirac-Kamms[Bearbeiten]

Die Poissonsche Summenformel besagt, dass der Dirac-Kamm (der Periode 1) ein Fixpunkt der Fourier-Transformation ist. Allgemeiner gilt


 \mathcal{F} \{ \Delta_{T} \} =
 \frac{1}{T} \, \Delta_{\frac{1}{T}},

wobei für die kontinuierliche Fourier-Transformation die in der Literatur zur Signalverarbeitung übliche Konvention

\mathcal{F}\{ f(t) \} = \int_{-\infty}^\infty f(x)\, e^{-2\pi \mathrm{i} t x} \,\mathrm{d} x

verwendet wird.

Abtastung und Alias-Effekte[Bearbeiten]

Mit Hilfe des Dirac-Kamms lässt sich das Abtasten einer Funktion mathematisch durch Multiplikation mit der abzutastenden Funktion beschreiben:

Abtasten durch Multiplikation mit einem Dirac-Kamm

Die Multiplikation eines glatten, schnellfallenden kontinuierlichen Signals mit einem Dirac-Kamm ist das Modell eines idealen Abtasters (engl.: sampler) mit der Abtastrate T.

In der Theorie der Signalverarbeitung stellt der Dirac-Kamm ein elegantes Hilfsmittel dar, um das Nyquist-Shannon-Abtasttheorem zu beweisen und störende Alias-Effekte zu verstehen.

Literatur[Bearbeiten]