Dirac-Operator

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Der Dirac-Operator ist ein Differentialoperator, der eine Quadratwurzel aus dem Laplace-Operator ist. Der ursprüngliche Fall, mit dem sich Paul Dirac beschäftigte, war die formale Faktorisierung eines Operators für den Minkowski-Raum, der die Quantentheorie mit der speziellen Relativitätstheorie verträglich macht.

Definition[Bearbeiten]

Sei D \in \operatorname{Diff}^1(V,V) ein geometrischer Differentialoperator erster Ordnung, der auf ein Vektorbündel V \to M über einer riemannschen Mannigfaltigkeit M wirkt.

Gilt

D^2=\Delta\,,

wobei \Delta ein verallgemeinerter Laplace-Operator auf V ist, dann heißt D Dirac-Operator.[1]

Geschichte[Bearbeiten]

Ursprünglich hatte Paul Dirac die Wurzel aus dem D’Alembert-Operator \Box betrachtet und damit die relativistische Quantenfeldtheorie eines Elektrons begründet. Er betrachtete also den Operator


\sum_{i=0}^n \gamma_i \frac{\partial}{\partial x_i}\,,

wobei \gamma_i die Dirac-Matrizen sind. Dieser ist jedoch nach heutigem Verständnis kein Dirac-Operator mehr.[2]

Der Dirac-Operator eines Dirac-Bündels[Bearbeiten]

Sei (M,g) eine riemannsche Mannigfaltigkeit und (\mathcal{E},h,\nabla^{\mathcal{E}}) ein Dirac-Bündel, bestehend aus einem Clifford-Modul \mathcal{E} \to M einer hermiteschen Metrik h auf \mathcal{E} und einem Clifford-Zusammenhang \nabla^\mathcal{E} auf \mathcal{E}. Dann ist der Operator


D \colon \Gamma(M, \mathcal{E}) \xrightarrow{\nabla^\mathcal{E}} \Gamma(M,T^*M \otimes \mathcal{E}) \xrightarrow{c} \Gamma(M,\mathcal{E})

der zum Dirac-Bündel (E,h,\nabla^{\mathcal{E}}) assoziierte Dirac-Operator. In lokalen Koordinaten hat er die Darstellung


D = \sum_{i=1}^n c(\mathrm{d} x^i) \nabla_{\partial_i}^\mathcal{E}\,.

Beispiele[Bearbeiten]

Elementares Beispiel[Bearbeiten]

Der Operator -i\partial_x ist ein Dirac-Operator über dem Tangentialbündel von \R.

Spin-Dirac-Operator[Bearbeiten]

Der Konfigurationsraum eines Teilchens mit Spin 1/2, das auf eine Ebene beschränkt ist, welche die Basis-Mannigfaltigkeit bildet. Es wird durch eine Wellenfunktion ψ: R2C2 beschrieben


\begin{bmatrix}
\chi(x,y) \\ 
\eta(x,y)
\end{bmatrix}\,.

Dabei sind x und y die üblichen Koordinatenfunktionen auf R2: χ definiert die Wahrscheinlichkeitsamplitude für einen aufwärts gerichteten Spin-Zustand (Spin-Up) und analog η für den Spin-Down. Der sogenannte Spin-Dirac-Operator kann dann geschrieben werden als


D=-i\sigma_x\partial_x-i\sigma_y\partial_y,

wobei σi die Pauli-Matrizen sind. Man beachte, dass die antikommutativen Beziehungen der Pauli-Matrizen einen Beweis der obigen Definition trivial machen. Diese Beziehungen definieren den Begriff der Clifford-Algebra. Lösungen der Dirac-Gleichung für Spinor-Felder werden oft harmonische Spinoren genannt[3].

Hodge-De-Rham-Operator[Bearbeiten]

Sei (M,g) eine orientierbare riemannsche Mannigfaltigkeit und sei \mathrm{d} \colon \mathcal{A}(M)^{\bullet -1} \to \mathcal{A}^\bullet(M) die äußere Ableitung und \mathrm{d}^t \colon \mathcal{A}^\bullet(M) \to \mathcal{A}^{\bullet -1}(M) der zur äußeren Ableitung bezüglich der L²-Metrik adjungierte Operator. Dann ist

 \mathrm{d} + \mathrm{d}^t \colon \mathcal{A}^\bullet(M) \to \mathcal{A}^\bullet(M)

ein Dirac-Operator.[4]

Atiyah-Singer-Dirac-Operator[Bearbeiten]

Es gibt auch einen Dirac-Operator in der Clifford-Analysis. Im n-dimensionalen euklidischen Raum ist das
    D=\sum_{j=1}^{n}e_{j}\frac{\partial}{\partial x_{j}}
wobei
     \{e_{j}:j=1,\ldots, n\}
eine Orthonormal-Basis des euklidischen Raumes ist und \mathbb{R}^{n} als in eine Clifford-Algebra eingebettet gilt. Dies ist ein Spezialfall des Atiyah-Singer-Dirac-Operator, der auf den Schnitten eines Spinor-Bündels wirkt.

Für eine Spin-Mannigfaltigkeit M, ist der Atiyah-Singer-Dirac-Operator lokal folgendermaßen definiert:
Für x\in M und e_{1}(x),\ldots,e_{j}(x) eine lokale Orthonormalbasis für den Tangentenraum von M in x ist der Atiyah-Singer-Dirac-Operator
    \sum_{j=1}^{n}e_{j}(x)\tilde{\Gamma}_{e_{j}(x)},
wobei \tilde{\Gamma} ein Liften des Levi-Civita-Zusammenhangs auf M für das Spinor-Bündel über M ist.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Das Hauptsymbol eines verallgemeinerten Laplace-Operators ist \xi \mapsto \|\xi\|^2. Entsprechend ist das Hauptsymbol eines Dirac-Operators \xi \mapsto \|\xi\| und somit sind beide Klassen von Differentialoperatoren elliptisch.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Der Operator D \colon C^\infty(\R^k\otimes \R^n,S)\to C^\infty(\R^k\otimes\R^n,\C^k\otimes S), der auf die nachfolgend definierten spinorwertige Funktionen wirkt,

f(x_1,\ldots,x_k)\mapsto
\begin{pmatrix}
\partial_{\underline{x_1}}f\\
\partial_{\underline{x_2}}f\\
\ldots\\
\partial_{\underline{x_k}}f\\
\end{pmatrix}

wird in der Clifford-Analysis oft als Dirac-Operator in k CliffordVariablen genannt. In dieser Notation ist S der Raum von Spinoren, x_i=(x_{i1},x_{i2},\ldots,x_{in}) sind n-dimensionale Variablen und \textstyle \partial_{\underline{x_i}}=\sum_j e_j\cdot \partial_{x_{ij}} ist der Dirac-Operator in der i-ten Variablen. Dies ist eine gebräuchliche Verallgemeinerung des Dirac-Operators (k=1) und der Dolbeault-Kohomologie (n=2, k beliebig). Er ist ein Differentialoperator, der invariant zu der Operation der Gruppe \operatorname{SL}(k)\times \operatorname{Spin}(n) ist. Die Injektive Auflösung von D ist nur für einige Spezialfälle bekannt.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Referenzen[Bearbeiten]

  1. Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds. 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270853-3, S. 498
  2.  Herbert Schröder: Funktionalanalysis. 2. korr. Auflage. Harri Deutsch, 2000, ISBN 3-8171-1623-3, S. 364.
  3. D. V. Alekseevskii (originator): Spinor structure. Encyclopedia of Mathematics
  4. Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds. 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270853-3, S. 499