Dirac-Operator

Der Dirac-Operator ist ein Differentialoperator, der eine Quadratwurzel aus dem Laplace-Operator ist. Der ursprüngliche Fall, mit dem sich Paul Dirac beschäftigte, war die formale Faktorisierung eines Operators für den Minkowski-Raum, der die Quantentheorie mit der speziellen Relativitätstheorie verträglich macht.

Definition

Sei $D \in \operatorname{Diff}^1(V,V)$ ein geometrischer Differentialoperator erster Ordnung, der auf ein Vektorbündel $V \to M$ über einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$ wirkt.

Gilt

$D^2=\Delta\,,$

wobei $\Delta$ ein verallgemeinerter Laplace-Operator auf $V$ ist, dann heißt $D$ Dirac-Operator.

Geschichte

Ursprünglich hatte Paul Dirac die Wurzel aus dem D’Alembert-Operator $\Box$ betrachtet und damit die relativistische Quantenfeldtheorie eines Elektrons begründet. Er betrachtete also den Operator

$\sum_{i=0}^n \gamma_i \frac{\partial}{\partial x_i}\,,$

wobei $\gamma_i$ die Dirac-Matrizen sind. Dieser ist jedoch nach heutigem Verständnis kein Dirac-Operator mehr.

Der Dirac-Operator eines Dirac-Bündels

Sei $(M,g)$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und $(\mathcal{E},h,\nabla^{\mathcal{E}})$ ein Dirac-Bündel, bestehend aus einem Clifford-Modul $\mathcal{E} \to M$ einer hermiteschen Metrik $h$ auf $\mathcal{E}$ und einem Clifford-Zusammenhang $\nabla^\mathcal{E}$ auf $\mathcal{E}$. Dann ist der Operator

$D \colon \Gamma(M, \mathcal{E}) \xrightarrow{\nabla^\mathcal{E}} \Gamma(M,T^*M \otimes \mathcal{E}) \xrightarrow{c} \Gamma(M,\mathcal{E})$

der zum Dirac-Bündel $(E,h,\nabla^{\mathcal{E}})$ assoziierte Dirac-Operator. In lokalen Koordinaten hat er die Darstellung

$D = \sum_{i=1}^n c(\mathrm{d} x^i) \nabla_{\partial_i}^\mathcal{E}\,.$

Beispiele

Elementares Beispiel

Der Operator $-i\partial_x$ ist ein Dirac-Operator über einem Tangentialbündel von $\R$.

Spin-Dirac-Operator

Der Konfigurationsraum eines Teilchens mit Spin ¹/₂, das auf eine Ebene beschränkt ist, welche die Basis-Mannigfaltigkeit bildet. Es wird durch eine Wellenfunktion ψ: R² → C² beschrieben

$\begin{bmatrix} \chi(x,y) \\ \eta(x,y) \end{bmatrix}\,.$

Dabei sind x und y die üblichen Koordinatenfunktionen auf R²: χ definiert die Wahrscheinlichkeitsamplitude für einen aufwärts gerichteten Spin-Zustand (Spin-Up) und analog η für den Spin-Down. Der sogenannte Spin-Dirac-Operator kann dann geschrieben werden als

$D=-i\sigma_x\partial_x-i\sigma_y\partial_y,$

wobei σ_i die Pauli-Matrizen sind. Man beachte, dass die antikommutativen Beziehungen der Pauli-Matrizen einen Beweis der obigen Definition trivial machen. Diese Beziehungen definieren den Begriff der Clifford-Algebra. Lösungen der Dirac-Gleichung für Spinor-Felder werden oft harmonische Spinoren genannt.

Hodge-De-Rham-Operator

Sei $(M,g)$ eine orientierbare riemannsche Mannigfaltigkeit und sei $\mathrm{d} \colon \mathcal{A}(M)^{\bullet -1} \to \mathcal{A}^\bullet(M)$ die äußere Ableitung und $\mathrm{d}^t \colon \mathcal{A}^\bullet(M) \to \mathcal{A}^{\bullet -1}(M)$ der zur äußeren Ableitung bezüglich der L²-Metrik adjungierte Operator. Dann ist

$\mathrm{d} + \mathrm{d}^t \colon \mathcal{A}^\bullet(M) \to \mathcal{A}^\bullet(M)$

ein Dirac-Operator.

Atiyah-Singer-Dirac-Operator

Es gibt auch einen Dirac-Operator in der Clifford-Analysis. Im n-dimensionalen euklidischen Raum ist das
    $D=\sum_{j=1}^{n}e_{j}\frac{\partial}{\partial x_{j}}$
wobei
    $\{e_{j}:j=1,\ldots, n\}$
eine Orthonormal-Basis des euklidischen Raumes ist und $\mathbb{R}^{n}$ als in eine Clifford-Algebra eingebettet gilt. Dies ist ein Spezialfall des Atiyah-Singer-Dirac-Operator, der auf den Schnitten eines Spinor-Bündels wirkt.

Für eine Spin-Mannigfaltigkeit $M$, ist der Atiyah-Singer-Dirac-Operator lokal folgendermaßen definiert:
Für $x\in M$ und $e_{1}(x),\ldots,e_{j}(x)$ eine lokale Orthonormalbasis für den Tangentenraum von $M$ in $x$ ist der Atiyah-Singer-Dirac-Operator
    $\sum_{j=1}^{n}e_{j}(x)\tilde{\Gamma}_{e_{j}(x)}$,
wobei $\tilde{\Gamma}$ ein Liften des Levi-Civita-Zusammenhangs auf $M$ für das Spinor-Bündel über $M$ ist.

Eigenschaften

Das Hauptsymbol eines verallgemeinerten Laplace-Operators ist $\xi \mapsto \|\xi\|^2$. Entsprechend ist das Hauptsymbol eines Dirac-Operators $\xi \mapsto \|\xi\|$ und somit sind beide Klassen von Differentialoperatoren elliptisch.

Verallgemeinerungen

Der Operator $D \colon C^\infty(\R^k\otimes \R^n,S)\to C^\infty(\R^k\otimes\R^n,\C^k\otimes S)$, der auf die nachfolgend definierten spinorwertige Funktionen wirkt,

$f(x_1,\ldots,x_k)\mapsto \begin{pmatrix} \partial_{\underline{x_1}}f\\ \partial_{\underline{x_2}}f\\ \ldots\\ \partial_{\underline{x_k}}f\\ \end{pmatrix}$

wird in der Clifford-Analysis oft als Dirac-Operator in k CliffordVariablen genannt. In dieser Notation ist S der Raum von Spinoren, $x_i=(x_{i1},x_{i2},\ldots,x_{in})$ sind n-dimensionale Variablen und $\textstyle \partial_{\underline{x_i}}=\sum_j e_j\cdot \partial_{x_{ij}}$ ist der Dirac-Operator in der $i$-ten Variablen. Dies ist eine gebräuchliche Verallgemeinerung des Dirac-Operators (k=1) und der Dolbeault-Kohomologie (n=2, k beliebig). Er ist ein Differentialoperator, der invariant zu der Operation der Gruppe $\operatorname{SL}(k)\times \operatorname{Spin}(n)$ ist. Die Injektive Auflösung von D ist nur für einige Spezialfälle bekannt.

Siehe auch

• Dirac-Gleichung
• Zusammenhang (Differentialgeometrie)

Literatur

• Thomas Friedrich: Dirac Operators in Riemannian Geometry (Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie, 1997). American Mathematical Society, Providence, R.I. 2000, ISBN 978-0-8218-2055-1.
• Fabrizio Colombo, Irene Sabadini: Analysis of Dirac Systems and Computational Algebra (Progress in mathematical physics; Bd. 39). Birkhäuser, Boston, Mass. 2004, ISBN 978-0-8176-4255-6.