Diracmaß

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Das Diracmaß, benannt nach dem Physiker Paul Dirac, ist ein Mengenmaß der Maßtheorie.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Integral
3 Siehe auch
4 Literatur

[Bearbeiten] Definition

Es liege ein messbarer Raum $(\Omega,\mathfrak{U})$ vor. Zu jedem Punkt $z\in\Omega$ wird sein Diracmaß (auch Punktmaß) $\delta_z$ definiert, indem man festlegt, dass jede messbare Menge $A\subseteq \Omega$ (also $A\in\mathfrak{U}$ ) das Maß $1$ hat, wenn sie den Punkt $z$ enthält, und das Maß $0$ , wenn sie ihn nicht enthält:

$\delta_z(A) := \begin{cases} 1\ , & \text{falls } z \in A\ , \\ 0\ , & \mathrm{sonst}\ . \end{cases}$

Es entsteht durch diese Definition der Maßraum $(\Omega,\mathfrak{U},\delta_z)$ , welcher auch ein Wahrscheinlichkeitsraum ist, da die Gesamtmasse $\delta_z(\Omega) = 1$ ist. Beim Diracmaß $\delta_z$ ist die Einheitsmasse im Punkt $z$ konzentriert. Es folgt, dass das Maß endlich ist, insbesondere ist der Maßraum σ-endlich.

Mit Hilfe der charakteristischen Funktion $\chi$ , kann man diesen Sachverhalt auch durch

$\,\delta_z(A) = \chi_A(z)$

für alle $z\in\Omega$ und $A\in\mathfrak{U}$ ausdrücken.

[Bearbeiten] Integral

Sei wieder $(\Omega,\mathfrak{U})$ ein Maßraum und $(\mathbb{R},\mathcal{B})$ der Raum der reellen Zahlen ausgestattet mit der Borelschen σ-Algebra. Ferner sei die messbare Abbildung $f:\Omega\to \mathbb{R}$ gegeben.

Für alle $z\in\Omega$ und $A\in\mathfrak{U}$ gilt

$\begin{align} \int\limits_A f\,\mathrm d\delta_z &= \int\limits_{A\cap f^{-1}(\{f(z)\})} f\,\mathrm d\delta_z + \int\limits_{A\setminus f^{-1}(\{f(z)\})} f\,\mathrm d\delta_z \\&= \int\limits_{\{x\in A \mid f(x) = f(z)\}} f\,\mathrm d\delta_z + \int\limits_{\{x\in A \mid f(x) \ne f(z)\}} f\,\mathrm d\delta_z \\ &= f(z)\chi_A(z) + 0 \\ &= f(z)\chi_A(z) \\ &= \begin{cases}f(z)&z\in A\\0&z\not\in A\end{cases}\end{align}$

Als einelementige Teilmenge von $\mathbb{R}$ ist $\{f(z)\}\in\mathcal{B}$ . Urbilder messbarer Mengen sind messbar. Also ist $f^{-1}(\{f(z)\})\in\mathfrak{U}$ und dementsprechend auch die Mengen, über die oben integriert wird.