Diracmaß

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Ein Diracmaß, benannt nach dem Physiker Paul Dirac, ist ein spezielles Maß in der Maßtheorie.

Definition[Bearbeiten]

Es sei ein messbarer Raum (\Omega,\mathcal{A}) gegeben, also eine Grundmenge \Omega zusammen mit einer darauf definierten σ-Algebra \mathcal{A}. Zu jedem Punkt z\in\Omega wird eine zugehörige Abbildung \delta_z definiert, die jeder Menge A\in\mathcal{A} den Wert 1 zuordnet, wenn sie z enthält, und den Wert 0, wenn sie z nicht enthält:

 \delta_z(A) :=
\begin{cases} 
1\ , & \text{falls } z \in A\ , \\ 
0\ , & \mathrm{sonst}\ . 
\end{cases}

Die Abbildung \delta_z \colon \mathcal{A} \to [0,1] ist dann ein Maß und wird Diracmaß oder Punktmaß im Punkt z genannt. Wegen \delta_z(\Omega) = 1 ist \delta_z sogar ein Wahrscheinlichkeitsmaß und (\Omega,\mathcal{A},\delta_z) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Beim Diracmaß \delta_z ist die Einheitsmasse im Punkt z konzentriert. Es folgt, dass das Maß endlich ist, insbesondere ist der Maßraum σ-endlich.

Mit Hilfe der charakteristischen Funktion \chi kann man die definierende Gleichung auch durch

\,\delta_z(A) = \chi_A(z)

für alle z\in\Omega und A\in\mathcal{A} ausdrücken.

Dirac-Integral[Bearbeiten]

Das Dirac-Integral der Funktion f\colon A\to \mathbb{R} ist definiert als das Lebesgue-Integral unter dem Dirac-Maß. Anstelle des Lebesgue-Maßes wird zur Berechnung des Integrals das Dirac-Maß verwendet. Damit ergibt sich für das Integral einer beliebigen Funktion f.

\int_A f \mathrm d\delta_z = \begin{cases}f(z)&z\in A\\0&z\not\in A\end{cases}

Begründung[Bearbeiten]

Die Abbildung f\colon A\to \mathbb{R} sei eine nicht-negative messbare Funktion. Das Lebesgue-Integral der Funktion unter dem Dirac-Maß ist folgendermaßen definiert.

\int_A f \mathrm d\delta_z=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_A f_n \mathrm d\delta_z

f_n ist eine beliebige Folge von einfachen Funktionen, die punktweise und monoton wachsend gegen f konvergieren. Eine einfache Funktion ist eine nicht-negative messbare Funktion, die nur endlich viele Funktionswerte \alpha_i annimmt. m sei die Anzahl der Funktionswerte \alpha_i; A_i seien die (messbaren) Mengen, auf der die Funktion f_n jeweils den Wert \alpha_i annimmt . Das Integral einer einfachen Funktion ist damit folgendermaßen definiert:

\int_A f_n \mathrm{d}\delta_z=\sum_{i=1}^m\alpha_i(n)\delta_z(A_i(n))

Ist z nicht ein Element von A, dann ist z erst recht nicht Element irgendeiner der Teilmengen A_i. Dann ist auch das Dirac-Maß von allen A_i gleich Null. Folglich ist das Integral über A insgesamt gleich Null.

Ist z Element von A_j(n) für irgendein j, so ist das Dirac-Maß von A_j(n) gleich 1; das Dirac-Maß für alle anderen Mengen A_i(n) ist dann gleich Null. Für das Integral der einfachen Funktionen f_n ergibt sich somit:

\int_A f_n \mathrm{d}\delta_z=\alpha_j(n)=f_n(z)
\lim_{n\rightarrow\infty}\int_A f_n \mathrm d\delta_z=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(z)=f(z)

Also ist das Dirac-Integral gleich dem Funktionswert an der Stelle z, wenn z Element von A ist.

Eine andere Beweisführung erfolgt so:

Für alle z\in\Omega und A\in\mathcal{A} gilt

\begin{align}
  \int\limits_A f\,\mathrm d\delta_z
&=  \int\limits_{A\cap f^{-1}(\{f(z)\})} f\,\mathrm d\delta_z
+  \int\limits_{A\setminus f^{-1}(\{f(z)\})} f\,\mathrm d\delta_z
\\&=  \int\limits_{\{x\in A \mid f(x) = f(z)\}} f\,\mathrm d\delta_z
+  \int\limits_{\{x\in A \mid f(x) \ne f(z)\}} f\,\mathrm d\delta_z
\\                            &= f(z)\delta_z(A) + 0
\\                            &= f(z)\delta_z(A)
\\                              &= \begin{cases}f(z)&z\in A\\0&z\not\in A\end{cases}\end{align}

Als einelementige Teilmenge von \mathbb{R} ist \{f(z)\}\in\mathcal{B}. Urbilder messbarer Mengen sind messbar. Also ist f^{-1}(\{f(z)\})\in\mathcal{A} und dementsprechend auch die Mengen, über die oben integriert wird.

Falls \{z\}\in\mathcal{A}, so ist auch eine Integration über A\cap\{z\} und A\setminus\{z\} möglich.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]